В статье SEP о многозначной логике делается следующее заявление:
Введение систем МВЛ Лукасевичем (1920) первоначально руководствовалось (окончательно неудачной) идеей понимания понятия возможности, т. е. модальной логикой, трехзначным образом.
Почему это не удалось? Кажется почти интуитивным присвоить значение x такое, что 0 < x <1, для описания события, которое возможно, но не является истинным или определенным. Не это ли уже делается в теории вероятностей, когда присваивают вероятности событиям из интервала [0,1]?
Итак, трехзначная логика Лукасевича имеет три значения истинности {1,i,0}. С помощью этой логики Лукасевич пытался решить проблему будущих контингентов.
Его точка зрения состоит в том, что утверждения о прошлом и настоящем имеют неизменную истинностную ценность, поэтому, если они истинны, они обязательно истинны, если они ложны, они обязательно ложны. Будущим контингентам присваивается значение i, такая постановка возможна. Утверждения, которые являются истинными, также, конечно, возможны. Если мы добавим в язык модальный оператор ◇, мы сможем формализовать эти идеи с помощью следующих таблиц истинности.
╔═══╦═══╦
║ A ║◇A ║
╠═══╬═══╬
║ 1 ║ 1 ║
║ i ║ 1 ║
║ 0 ║ 0 ║
╚═══╩═══╩
Теперь определяя ◻A как ¬◇¬A, вы получаете таблицу
╦═══╦═══╔
║ A ║◻A ║
╠═══╬═══╬
║ 1 ║ 1 ║
║ i ║ 0 ║
║ 0 ║ 0 ║
╚═══╩═══╩
Одна из причин, по которой это считается ошибкой, состоит в том, что это имеет странные последствия для модальной логики. Например, в этой логике вы можете показать (после определения других таблиц истинности и достоверности), что ◇A, ◇B ⊨ ◇(A & B). Это интуитивно неприемлемо для логики возможности.
См. «Введение в неклассическую логику» (священник), глава 7, откуда мой ответ был взят почти дословно. Он также содержит доказательство утверждения, упомянутого Бамблом.
Конкретная цитата, которую вы дали о Лукасевиче, относится к тому факту, что была попытка понять интуиционистскую логику как многозначную логику, но это не удалось, потому что Гёдель в начале 1930-х годов доказал, что интуиционистская логика не является n-валентной для любого n.
Возвращаясь к вашему последнему абзацу, правда и уверенность — совершенно разные вещи. Спросите, в какой степени это правда? отличается от вопроса, насколько вероятно, что это правда? Проблема в том, что их часто смешивают: люди думают, что, поскольку есть некоторые утверждения, о которых они не знают, истинны они или нет, можно использовать трехзначную логику со значениями истина, ложь и неизвестность. Введите путаницу. Неизвестное (или неопределенное, или неопределенное) не является истинностным значением: это эпистемологический статус. Undefined также не является истинностным значением, а его отсутствием.
Путаницы можно избежать, рассматривая степень истины и степень уверенности отдельно. Одним из популярных подходов к определению степени истины является нечеткая логика, которая используется для объяснения нечетких предикатов и для объяснения проблем Sorites. С другой стороны, степень уверенности уже охватывается вероятностью, если мы эпистемически понимаем вероятность как меру информации.
Это было неудачно, потому что никто не вкладывал достаточно времени и не думал о том, чтобы развивать вещи до такой степени, чтобы они могли давать полезные результаты. И почему никто этого не сделал? Может быть, потому, что все, кто присматривался, пришли к выводу, что это тупик (или успех маловероятен).
Вы придумали самый первый шаг: присвоить значение 0 < x < 1. Теперь какой второй шаг? Как бы вы, например, связали утверждения «Х — мужчина» (в этом я не уверен), «Х женат» (в этом тоже не уверен) и «Х имеет жену» (что не следует полностью из первого утверждения, что, безусловно, сделало бы эту ситуацию подходящей для логики со многими последователями), но с использованием правил, которые не требуют от вас проверки утверждений, а только их истинностных значений?
Есть несколько возможных причин.
1) Существует значительное сопротивление отказу от «законов» бивалентности и исключенного третьего. Например, раннее и убедительное возражение против использования третьего логического значения для представления будущих контингентов зависит от того, принимается ли закон исключенного третьего или нет.
2) Технические требования возможности и необходимости расходятся с традиционно признанными в модальной логике и философии. Существуют и другие трудности интерпретации системы. Системы Льюиса и им подобные получили такое признание, что альтернатива должна демонстрировать существенное превосходство.
3) В логике Лукасевича различные правила вывода классической логики, в частности modus ponens и правило транзитивности, не являются тавтологиями, что серьезно снижает практическую полезность этой логики. Приемлемая теория дедуктивного вывода, использующая эту логику, не разработана.
4) Доказано, что трехзначная логика несовместима как с интуиционизмом, так и с модальной логикой в том виде, в каком они были разработаны.
У меня есть основания полагать, что ни одно из этих возражений не является непреодолимым по своей сути, но в совокупности они представляют собой огромные психологические барьеры для серьезного рассмотрения модальной логики, основанной на трехзначной логике Лукасевича.
Конифолд