Модальная логика: вопрос о доступности

Вы можете выполнить семантику для QML одним из двух способов: либо с переменным доменом, либо с постоянным доменом. Чтобы сохранить миры изолированными (т. е. запретить перекрытие), как это делает Льюис в своем модальном реализме, требуется подход с переменной областью (поскольку область определения квантора каждого мира не пересекается с любым другим миром). Вы можете прочитать об этих двух подходах во второй половине книги Приста, главы 14 и 15 второго издания.

Стоит подчеркнуть, что этот запрет на перекрывающиеся миры является метафизическим постулатом, который является частью модального реализма метафизического взгляда Льюиса . Это никоим образом не навязано вам самой модальной логикой.

Если между мирами нет связи, то что такое понятие доступности? И как могло случиться, что существуют два мира, которые не имеют доступа друг к другу?

Ах, но есть отношения , которые существуют между мирами. Существуют отношения подобия по Льюису и отношения достижимости в теории моделей модальной логики. Отношения между мирами, которые запрещает Льюис, являются пространственно-временными и причинными отношениями. Его тезис состоит в том, что миры пространственно-временно и причинно изолированы друг от друга, а не в том, что между мирами вообще не существует никаких отношений.

Если у вас есть модальная логика S5 (как предполагает Льюис в OPW), то вы можете, как указывает ответ Эрика, игнорировать доступность, поскольку каждый мир доступен из любого мира (поскольку доступность является отношением эквивалентности в S5). Если, однако, вы начинаете с двух изолированных миров w1 и w2, то у вас будет два непересекающихся класса эквивалентности миров (где каждый класс такой же большой, как совокупность «логического пространства» Льюиса). Обычно это не проблема в метафизических применениях модальной логики (например, модального реализма Льюиса), поскольку обычно мы начинаем с реального мира, и я не знаю никого, кто утверждал бы, что два мира могут быть оба реальными ( в то же время).

Что означает доступность w1 и w2?

Это просто означает, что пропозиции, истинные в этих мирах, могут быть релевантными для оценки истинностного значения модальных пропозиций в мире w1 и w2, из которого они доступны. Например, если w0Rw1 и w0Rw2, то для того, чтобы []p (обязательно p) было истинным в w0, p должно быть истинным в w1 и w2.

Каковы примеры двух возможных миров, которые не имеют отношения доступности (что делает их недоступными)?

В более слабых системах, чем S5 (или в причудливой версии S5, которую я описал выше) у вас часто будут миры, недоступные друг другу. Например, в K нет ограничений на доступность, поэтому вы не можете быть уверены, что какие-то миры имеют доступ к другим. В качестве странного побочного эффекта у вас может быть мир w1, в котором и []p, и ~p верны. Поскольку доступность не является рефлексивной в K, вам не нужно, чтобы p было истинным в точке w1, чтобы []p было истинным, и поэтому противоречия нет.

«Недоступность» мира w1 означает просто то, что истинные в w1 пропозиции не влияют на оценку модальных утверждений в мирах, не имеющих доступа к w1.

Чтобы ответить на вопрос, которого вы не задавали: почему Льюис предполагает S5?

Ну, кажется, существует широкое согласие в том, что S5 отражает понятие логической необходимости. Вот почему Льюис называет пространство возможных миров логическим пространством.

Но часто вы хотите рассмотреть другие виды необходимости/модальности. Например, в логике доказуемости вас интересует доказуемость, а не возможность. Обычно считается, что логика доказуемости занимает промежуточное положение между S4 и S5 (чаще всего я видел, что она претендует на S4.2 или S4.3).

Самый короткий ответ: если вы определили правильную модель, вы знаете, что R(w1, w2) , если в вашей модели пара (w1, w2) находится в расширении R . Если у вас нет модели, вы можете вывести это из предполагаемых свойств R , например, из R(w0, w1) и R(w0, w2) вы можете вывести R(w1, w2) , если R является евклидовым . Вы определяете это отношение так, как оно характеризует рассматриваемую модальность. Вы должны иметь представление о том, какими свойствами обладает соответствующая модальность в первую очередь.

Более длинный ответ: отношение доступности не имеет значения вне формальной системы в целом, потому что его интерпретация зависит от цели, для которой вы используете модальную логику. Например, для рационального убеждения иногда используется система КД45, имеющая последовательное, транзитивное и евклидово отношение достижимости. Итак, если R(w1, w2) , то некоторые люди интерпретируют это как « w2 совместимо с тем, что агент верит в w1» .". Однако с формальной точки зрения эта интерпретация несущественна, потому что имеют значение формальные свойства отношения, т. е. в данном случае то, что оно является серийным, транзитивным и евклидовым. Эти свойства непосредственно соответствуют аксиомам теории доказательств. логики. Например, в случае KD45 они соответствуют (D) непротиворечивости, а также (4) положительной и (5) отрицательной аксиомам интроспекции (аксиома (K) выполняется по умолчанию во всех нормальных модальных логиках).

Я уверен, что кто-то что-то писал об этом, но лично я не стал бы слишком много читать об отношениях доступности. Они являются более или менее техническими, хотя и важными.

Оригинальный, развернутый ответ: Во-первых, у Приста и Льюиса разные взгляды на вопрос, какие объекты могут «населять» разные миры. Льюис - модальный реалист, он придерживается мнения, что один и тот же объект не может находиться в двух мирах одновременно, поэтому он разработал теорию двойников. Жрец исходит из более современной традиции, не основанной на теории двойников. Насколько я знаю, он допускает в своих системах существование «одного и того же» объекта в разных мирах, где он может иметь разные свойства. (Конечно, иногда он допускает гораздо больше, потому что многие из его систем паранепротиворечивы. Заметьте, что в этом контексте одинаковость не может быть лейбницевской идентичностью между мирами. Межмировая идентичность широко обсуждалась с 70-х годов прошлого века.)

Другой вопрос, который следует принять во внимание, заключается в том, может ли константа в мире w относиться к объекту, находящемуся в мире u . Я не знаю, допускает ли это Прист, но, например, Фитинг и Мендельсон делают это в своей книге о модальной логике первого порядка. В случае сомнений всегда проверяйте правила оценки терминов в логической системе.

Что касается доступности между мирами, то и Льюису, и Присту необходимо разрешить бинарное отношение доступности между мирами по техническим причинам, если они хотят оставаться в рамках обычной модальной логики с фреймами Крипке. Если вы упустите доступность, вы получите систему, подобную S5. (Я говорю «как S5», потому что, строго говоря, система, которую вы получите, — это S5 с модальностью глобальной коробки или S5 с моделями, в которых удалены все недоступные миры.)

Существуют и другие системы, например, модальная логика с семантикой соседства, которые обобщают нормальную модальную логику и не имеют отношения доступности. Если не ошибаюсь, некоторые из них изучал и Льюис в своей работе по условной логике. Однако даже в этих более общих системах вам необходимо каким-то образом ограничить наборы модальных операторов миров, например, с помощью «функции выбора», чтобы заставить их вести себя каким-либо интересным образом.

Много было написано о том, что все это означает с метафизической точки зрения, и окончательного согласия так и не было достигнуто, поскольку это зависит от различных позиций, которые можно занять. Например, имеет значение, являетесь ли вы модальным реалистом или верите, что возможные миры онтологически редуцируемы, и если да, то каким образом, и являются ли возможные миры по существу моделями немодального базового языка (хинтикка) или нет. . Коккьярелла (1989, 2007) много работал над метафизикой модальности, и вы также найдете множество метафизических аспектов, затронутых Китом Файном. Однако этих авторов нелегко читать, и они требуют хорошей технической подготовки.

Дополнение: я забыл упомянуть, что я не знаю ни одного автора, который утверждал бы, что возможные миры могли бы каузально взаимодействовать друг с другом, но доступность не подразумевает каузального взаимодействия.

Если бы два мира были доступны друг другу, то они на самом деле были бы одним миром — точно так же, если между двумя комнатами есть дверь, эти две комнаты на самом деле являются частью одного дома. Следовательно, если есть два Мира, то они недосягаемы друг от друга.

Хотя Бритва Оккама говорит, что мир есть, и мы в нем живем. Можно перевернуть разрез и сказать, если есть один Мир, то почему не может быть больше? Возможно, существуют все Миры, не нарушающие логику?