Как F=Δ(mv)ΔtF=Δ(mv)ΔtF = \frac{ \Delta (mv)}{ \Delta t} равно (mΔvΔt)+(vΔmΔt)(mΔvΔt)+(vΔmΔt)( m \frac { \Delta v}{ \Delta t} ) + ( v \frac { \Delta m}{ \Delta t} )?

Вот визуализация:

Импульс равен массе, умноженной на скорость, поэтому нарисуйте его как площадь прямоугольника:

Если мы немного изменим массу и скорость, мы изменим импульс:

Общее изменение импульса представляет собой сумму зеленых, синих и фиолетовых прямоугольников. Их размеры — это длина, умноженная на ширину, поэтому в целом мы имеем

$\Delta p = m\Delta v + v\Delta m + \Delta v \Delta m$

Это похоже на ответ, который вы ищете, за исключением дополнительного термина в конце.

Допустим, мы вырезаем$\Delta m$и$\Delta v$до одной десятой их нынешнего размера. Тогда первые два члена становятся на одну десятую меньше, но$\Delta m \Delta v$становится в одну сотую меньше. Фиолетовая коробка сжимается намного быстрее, чем синяя и зеленая. Следовательно, для очень небольших изменений мы можем игнорировать фиолетовую рамку и написать

$\Delta p = \Delta(mv) = m\Delta v + v\Delta m$

мы обычно указываем эту процедуру ограничения, изменяя$\Delta$к$\mathrm{d}$, так

$\mathrm{d} p = \mathrm{d}(mv) = m\mathrm{d} v + v\mathrm{d} m$

Это верно только тогда, когда изменения$\Delta t$,$\Delta v$,$\Delta m$малы, и тогда это известно как правило Лейбница, правило для производной произведения, которое Лейбниц (но также и Ньютон) открыл, когда они изобрели исчисление 3 века назад.

Просто посмотрите на это доказательство:

$$\frac{\Delta (mv)}{\Delta t} = \frac{(mv)_{new} - (mv)_{old}}{\Delta t} =\frac{(m_{old}+\Delta m)(v_{old}+\Delta v)-m_{old}v_{old}}{\Delta t} = \dots$$ Здесь я просто использовал $x_{new}=x_{old}+\Delta x$что справедливо для $X=m,v,t,mv$или что-нибудь еще. Новое значение представляет собой старое значение плюс приращение.

А теперь разложите произведения в скобках по закону распределения. Вы получаете;

$$=\dots \frac{m_{old}\Delta v+ \Delta m v_{old}+\Delta m\,\Delta v}{\Delta t}$$ потому что термин $m_{old}v_{old}$отменено (было вычтено). Теперь, если каждый $\Delta X$значительно меньше, чем $X$, например 100 раз, то $\Delta m \,\Delta v$в 10 000 раз меньше, и им можно полностью пренебречь. Итак, у вас остались только первые два члена в числителе, и они дают вам именно те два члена, которые вы хотели найти.

Таким образом, увеличение$mv$получается либо за счет увеличения$m$или от увеличения$v$. Уравнение просто количественно кодирует это простое наблюдение.

Идея этого вывода из школьного учебника состоит в том, что вы можете изменить момент, изменив скорость (общий случай) или изменив массу.

Поскольку изменить импульс системы (ракета плюс газы) можно только внешней силой, а в случае ракеты внешней силы нет (пренебрегаем на мгновение гравитацией), то возникает вопрос, почему ракета становится быстрее и Быстрее?

$$F_\text{ext} = \frac{\text{d}p}{\text{d}t} = m \frac{\text{d}v}{\text{d}t} + v \frac{\text{d}m}{\text{d}t} = 0,$$

$$m \frac{\text{d}v}{\text{d}t} = - v \frac{\text{d}m}{\text{d}t}.$$

Важный вклад вносит тот факт, что по мере того, как ракета отталкивает газы, она эффективно уменьшает свою массу (правая часть уравнения). Если импульс сохраняется, это означает, что скорость ракеты увеличивается (левая часть уравнения).