Явный вид производства энтропии в гидродинамике

Каждое уравнение переноса континуума выводится из аналога для замкнутой системы с использованием транспортной теоремы Рейнольдса. В общем, шаги для получения выражения для скорости генерации энтропии следующие:

1. Примените транспортную теорему Рейнольдса к сохранению энергии, получив уравнение для скорости изменения (внутренней плюс кинетической) энергии.
2. Признайте, что $$\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t}\left(\frac{\left| \vec{v} \right|^2}{2} \right) = \vec{v} \cdot \rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} \vec{v}$$ и, таким образом, уравнение для скорости изменения кинетической энергии может быть получено непосредственно из уравнения импульса
3. Вычтем результат (2) из ​​результата (1), чтобы получить уравнение для скорости изменения внутренней энергии
4. Примените транспортную теорему Рейнольдса к балансу энтропии. Это дает уравнение как со скоростью изменения энтропии, так и со скоростью генерации энтропии.
5. Примените соотношение Гиббса $$\text{d} u = T \text{d}s - P \text{d}v$$ связать скорость изменения энтропии со скоростью изменения внутренней энергии и удельного объема: $$\begin{align*} \frac{\text{D}}{\text{D}t} u &= T \frac{\text{D}}{\text{D}t}s - P \frac{\text{D}}{\text{D}t}v \\ T \frac{\text{D}}{\text{D}t}s &= \frac{\text{D}}{\text{D}t} u + {P \frac{\text{D}}{\text{D}t}v} \end{align*}$$ Обратите внимание, что я буду пренебрегать скоростью изменения удельного объема, так как предполагаю, что Ландау рассматривает жидкость как несжимаемую.
6. Подрезультат (3) в результат (5)
7. Подрезультат (6) в результат (4)
8. Разбить тензор полных напряжений$\sigma$в изотропную внутреннюю составляющую давления$-pI$(где$I$– единичная матрица) и вязкой составляющей$\tau$, т.е.$\sigma=-pI + \tau$. Компонент давления будет компенсироваться, демонстрируя, что работа, выполняемая давлением, не генерирует энтропию и, следовательно, обратима (примечание: эта компенсация происходит, даже если жидкость сжимаема - работа под действием термодинамического давления всегда обратима).
9. Переставить для генерации энтропии

Предполагая, что Ландау пренебрегает теплообменом, результаты этих шагов будут

1. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (u+ke) = \vec{\nabla}\left(\vec{v}\cdot\sigma\right) + \vec{v} \cdot \vec{b}$где$\vec{b}$сила тела
2. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (ke) = \vec{v}\cdot \vec{\nabla}\sigma + \vec{v} \cdot \vec{b}$
3. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (u) = \sigma:\vec{\nabla}\vec{v}$
4. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (s) = \rho\dot{s}_\text{gen}$(другие термины появились бы здесь, если бы присутствовала теплопередача)
5. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t}s = \frac{1}{T}\left( \rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} u \right)$
6. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t}s = \frac{1}{T}\sigma:\vec{\nabla}\vec{v}$
7. $\frac{1}{T}\sigma:\vec{\nabla}\vec{v} = \rho\dot{s}_\text{gen}$
8. Результат$\frac{1}{T}\tau:\vec{\nabla}\vec{v} = \rho\dot{s}_\text{gen}$потому что$I:\vec{\nabla}\vec{v} = 0$
9. $\rho\dot{s}_\text{gen} = \frac{1}{T}\sigma:\vec{\nabla}\vec{v}$

Если тензор вязких напряжений определяется выражением

$$\tau = \frac{\eta}{2}\left( \vec{\nabla}\vec{v} + \left( \vec{\nabla}\vec{v} \right)^\text{T} \right) = \frac{\eta}{2} \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i} \right)$$ тогда важные результаты:

3. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (u) = \frac{\eta}{2}\left( \vec{\nabla}\vec{v} + \left( \vec{\nabla}\vec{v} \right)^\text{T} \right)^2 = \frac{\eta}{2} \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i} \right)^2$
4. $\rho\dot{s}_\text{gen} = \frac{\eta}{2T}\left( \vec{\nabla}\vec{v} + \left( \vec{\nabla}\vec{v} \right)^\text{T} \right)^2 = \frac{\eta}{2T} \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i} \right)^2$

В невязком случае$\tau = 0$, поэтому эти результаты упрощаются до

3. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (u) = 0$
4. $\rho\dot{s}_\text{gen} = 0$

Я заметил, что уравнение, которое вы приводите для скорости изменения кинетической энергии, тесно связано с уравнением, которое я привожу для скорости изменения внутренней энергии. Я полагаю, что выражение Ландау исходит из предположения, что полная энергия системы постоянна, и, таким образом, изменение кинетической энергии должно равняться отрицательному изменению внутренней энергии... или что-то в этом роде.

Возвращаясь к вашему вопросу:

• Приведенный выше вывод показывает, как результаты для вязких и невязких веществ могут быть получены с использованием одного и того же аргумента. Можно утверждать, что экспериментальные данные показывают, что невязкое течение обратимо и, следовательно, не генерирует энтропию, но соответствующий аргумент для вязкого случая только поддерживает вывод о том, что производство энтропии не равно нулю (оно не приводит к конкретному выражению )
• Выражение, которое вы предлагаете для производства энтропии, оказывается, принимает ту же форму, что и то, которое я вывожу, но я бы не рассматривал это как общий результат - производство энтропии не всегда связано со скоростью изменения кинетики. энергия таким образом

• Что происходит с точки зрения энтропии:

  • компонент давления в напряжении работает обратимо и, следовательно, не генерирует энтропию.
  • вязкая составляющая напряжения (которая присутствует всякий раз, когда в вязкой среде есть градиенты скорости) работает необратимо и, следовательно, генерирует энтропию. Мы можем провести аналогию между теплопередачей и вязкой диссипацией: оба они генерируют энтропию, вызывая выравнивание градиентов —$T$градиенты теплопередачи и$\vec{v}$градиенты вязкой диссипации

Обратите внимание, что мы также можем сделать вывод, что$\eta \geq 0$, как минус$\eta$будет генерировать отрицательную энтропию.