Как газ может выдерживать растягивающие напряжения?

Question

Как газ может выдерживать растягивающие напряжения?

Брайсон С.

Работая над строгим выводом уравнений Навье-Стокса для сжимаемых материалов, я обнаружил, что поток количества движения в направлении X должен определяться не только нормальным градиентом давления. $\frac{\partial p}{\partial x}$ и условия напряжения сдвига $\frac{\partial(\tau_{yx})}{\partial x}$ и $\frac{\partial(\tau_{zx})}{\partial x}$ , но и по градиенту нормального напряжения $\frac{\partial(\tau_{xx})}{\partial x}$ . Мне интуитивно понятно, как соседние пластины, движущиеся с разными скоростями, могут передавать импульс через их границу раздела, и поэтому члены напряжения сдвига в уравнении импульса легко понятны. Термин нормальное напряжение, с другой стороны, гораздо менее интуитивен, потому что я не понимаю, как свободно деформирующаяся жидкость может поддерживать напряжения растяжения. Положительные нормальные напряжения (т. е. сжатие) не так уж трудно понять, но оказывается чрезвычайно трудным полностью представить элемент жидкости, «притягивающий» соседний элемент способом, хотя бы отдаленно аналогичным поведению твердого тела в тех же условиях. . Мне также неясна разница между «давлением» и «нормальным напряжением» в жидкости. Чем именно отличаются эти термины? Меня в первую очередь интересуют газы, а не жидкости.

Джон Алексиу

Жидкость может поддерживать только объемный модуль

г В "=" - К В г п

${\rm d}V = -K V {\rm d} P$

Брайсон С.

Если нормальное напряжение в конечном итоге относится к объемному модулю и объемной деформации, можете ли вы дать некоторое физическое представление о том, как это на самом деле проявляется?

Джон Алексиу

Я предполагаю, что если вы приложите одинаковое давление ко всем сторонам куба, изменится только объем, а не форма. Не будет никакого «потока», только общее масштабирование.

Фил Фрост

Является ли это чем-то большим, чем повседневная концепция всасывания?

Брайсон С.

@Phil Frost Всасывание - это просто относительная разница в давлении. То, о чем я говорю, фактически сводится к отрицательному давлению (напряжению).

тпг2114

@ Брайсон С. Кто сказал, что газ может поддерживать отрицательное давление? Он может поддерживать силы, снижающие давление, но никогда до нуля.

Брайсон С.

Это как раз мой вопрос, мы уверены , что газ не может выдержать растягивающее напряжение?

Ответы (2)

Как газ может выдерживать растягивающие напряжения?

Жидкость может поддерживать только объемный модуль $г В "=" - К В г п$ ${\rm d}V = -K V {\rm d} P$
Если нормальное напряжение в конечном итоге относится к объемному модулю и объемной деформации, можете ли вы дать некоторое физическое представление о том, как это на самом деле проявляется?
Я предполагаю, что если вы приложите одинаковое давление ко всем сторонам куба, изменится только объем, а не форма. Не будет никакого «потока», только общее масштабирование.
Является ли это чем-то большим, чем повседневная концепция всасывания?
@Phil Frost Всасывание - это просто относительная разница в давлении. То, о чем я говорю, фактически сводится к отрицательному давлению (напряжению).
@ Брайсон С. Кто сказал, что газ может поддерживать отрицательное давление? Он может поддерживать силы, снижающие давление, но никогда до нуля.
Это как раз мой вопрос, мы уверены , что газ не может выдержать растягивающее напряжение?

user_of_math · Answer 1

Давайте сначала ответим на ваш последний вопрос. Пусть тензор напряжений в точке (x, y, z) жидкости задан как $\sigma$ . Вы можете выбрать декартов базис $\{ e_1, e_2, e_3 \}$ и выразить компоненты тензора в этом базисе

[\begin{matrix} о_{Икс Икс} & о_{Икс у} & о_{Икс г} \\ о_{Икс у} & о_{у у} & о_{у г} \\ о_{Икс г} & о_{у г} & о_{г г} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}$

Нормальные напряжения просто $\sigma_{xx},\sigma_{yy}$ и $\sigma_{zz}$ . Важно понимать, что эти напряжения будут иметь другие значения в другом базисе.

Ясно, что нельзя придавать слишком большое физическое значение вещам, зависящим от базиса. Однако теорема механики сплошных сред состоит в том, что вы ВСЕГДА можете найти хотя бы один базис, в котором недиагональные (члены сдвига) равны нулю. В этом базисе компоненты тензора равны

[\begin{matrix} о_{1} & 0 & 0 \\ 0 & о_{2} & 0 \\ 0 & 0 & о_{3} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \sigma_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{3} \end{bmatrix}$

Эти числа имеют реальное физическое значение. $\max({\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3})$ - наибольшее главное нормальное напряжение в точке. Сходным образом, $\min({\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3})$ - наименьшее нормальное напряжение в этой точке. Не так уж трудно понять, что $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ являются собственными значениями тензора напряжений.

С другой стороны, давление в (-1/3) раз больше следа тензора напряжений, т.е.

п "=" - \frac{1}{3} о_{Дж Дж}

$p = -\frac{1}{3} \sigma_{jj}$

След является инвариантом тензора напряжений, поэтому, если вы возьмете сумму диагоналей тензора напряжений в любом базисе, вы получите одно и то же значение. Математически,

Т р ([β] [о_{я Дж}] [β]^{Т}) "=" Т р (о_{я Дж})

$Tr([\beta][\sigma_{ij}][\beta]^T) = Tr(\sigma_{ij})$ Итак, вы видите, что давление и нормальное напряжение на самом деле очень разные сущности. В частности, давление ИЗОТРОПНОЕ - у него нет предпочтительного направления.

Теперь рассмотрим состояние чистого сдвига в жидкости. Чтобы не усложнять ситуацию, мы предположим, что поток плоский, и проигнорируем неплоские компоненты.

Тензор напряжений чистого сдвига в нашем стандартном базисе выглядит так

[\begin{matrix} 0 & т \\ т & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 0 & \tau \\ \tau & 0 \\ \end{bmatrix}$

Похоже, нормальные напряжения равны нулю, верно? Не так быстро. Поскольку это симметричный действительный тензор, вы ВСЕГДА можете найти другой базис, в котором у вас есть нормальные компоненты напряжения!

На самом деле, если вы решаете задачу о собственных значениях, поставив $\det (\sigma-\lambda I )=0$ , вы получаете главные нормальные напряжения $\pm \tau$ .

Итак, в системе координат с базисными векторами $e'_1 = \{ (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \}$ и $e'_2 = \{ (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \}$ скорее, чем $\{(1,0), (0,1)\}$ , вы получаете тензор напряжений из ситуации «чистого» сдвига, который выглядит следующим образом

[\begin{matrix} т & 0 \\ 0 & - т \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \tau & 0 \\ 0 & -\tau \\ \end{bmatrix}$

В этом легко убедиться, самостоятельно проведя смену базиса.

Так что то, что выглядит как «чистый сдвиг» в одном основании, является двухосным нормальным напряжением в другом основании. Поскольку знаки разные, в жидкости присутствуют как растягивающие, так и сжимающие нормальные напряжения.

Спасибо, dmckee за объединение двух ответов, сам не знал как это сделать.
Один последний комментарий, чтобы закончить мой ответ: может существовать компонент нормального напряжения при растяжении, но это не подразумевает растягивающее давление. Вам потребуется когезионный механизм для развития растяжения, гидростатического давления, а у газа такого механизма нет (у газов действительно есть слабые силы лондонского типа, но они очень короткие). Кроме того, дополнительная оговорка заключается в том, что мы предполагаем, что жидкость хорошо описывается как континуум. Это не всегда верно, особенно для разреженных газов.
Это здорово, но вы говорите, что наличие растягивающих нормальных напряжений просто иллюзорно? Или, что более важно, может ли жидкость (в частности, газ) поддерживать силы растяжения? Как?

Ахметели · Answer 2

Похоже, вопрос сводится (по крайней мере частично) к следующему: может ли жидкость иметь отрицательное АБСОЛЮТНОЕ давление? Этот вопрос обсуждался здесь несколько раз. Мое мнение таково: может (хотя такое состояние, вероятно, в лучшем случае метастабильно), потому что сила между двумя молекулами может быть притягивающей. См., например, http://www.youtube.com/watch?v=BickMFHAZR0 , где они обсуждают, как деревья высотой более 10 м могут доставлять воду на свою вершину. Однако я не знаю, может ли газ, а не жидкость, иметь отрицательное давление. Однако в космологии рассматривается так называемый газ Чаплыгина.

Существует ли какой-либо известный механизм, с помощью которого это отрицательное давление могло бы поддерживаться в газе?
@ Брайсон С.: Я не уверен, возможно ли отрицательное давление для газов, но если да, то механизм должен быть тот же: молекулярное притяжение.
Но разве атомы/молекулы не расположены слишком далеко друг от друга, чтобы эти силы могли иметь заметный эффект?
@Bryson S.: В физике нет такого понятия, как «слишком далеко», есть только «слишком далеко по сравнению с чем-то». В этом случае, я думаю, вам следует сравнить потенциальную энергию притяжения с кинетической энергией. Опять же, не очевидно, что отрицательное абсолютное давление возможно в газах, не очевидно, что это невозможно.

Как газ может выдерживать растягивающие напряжения?

Брайсон С.

Джон Алексиу

Брайсон С.

Джон Алексиу

Фил Фрост

Брайсон С.

тпг2114

Брайсон С.

Ответы (2)

user_of_math

user_of_math

user_of_math

Брайсон С.

Ахметели

Брайсон С.

Ахметели

Брайсон С.

Ахметели

Закон Стокса пропорциональности радиусу

Есть ли противоречие между уравнением неразрывности и законом Пуазейля?

Поток через отверстие в сфере

Почему градиент давления у стенки равен нулю?

Существует ли аналитическое решение для течения жидкости в прямоугольном воздуховоде?

Интерпретация шкалы времени L2/νL2/νL^2/\nu

Что означает давление в уравнении Навье-Стокса?

Закон Стокса в 2-х измерениях

Профиль скорости вязкозатухающей волны

Вязкость и энергетический баланс