Вязкость идеального газа из размерного анализа

Question

Вязкость идеального газа из размерного анализа

Физика
идеальный газ
вязкость
динамика жидкостей
термодинамика
размерный анализ

Фрайзен

Краткое содержание

Из анализа размерностей я нахожу, что динамическая вязкость идеального газа должна зависеть от его давления. $p$ , плотность $\rho$ и средний молекулярный свободный пробег $l$ таким образом:

мю "=" С \sqrt{р п} л .

$\mu = C \sqrt{\rho p} l.\quad$

Здесь, $C\geq0$ является безразмерной константой.

Однако мне кажется нелогичным, что динамическая вязкость, «внутреннее трение» жидкости увеличивается с увеличением длины свободного пробега. Моя интуиция подсказывает мне, что внутреннее трение мало, если молекулы далеко друг от друга.

Я пропустил какую-то величину, которая должна войти в выражение?
Не провалился ли мой вывод каким-то другим образом?
Моя интуитивная картина неверна?

Вывод

В идеальном газе молекулы взаимодействуют только посредством упругих столкновений. Уравнение состояния:

п "=" р р Т . (1)

$p = \rho R T. \quad (1)$

Переменные и их единицы:

$p$ : Давление [кг/(мс) $^2$ )]
$\rho$ : Плотность [кг/(м $^3$ )]
$R$ : Удельная газовая постоянная [м $^2$ /(с $^2$ К)]
$T$ : Температура [К]

В общем случае это полевые переменные, поэтому $p = p(\mathbf{x},t)$ , $\rho = \rho(\mathbf{x},t)$ и $T = T(\mathbf{x},t)$ . В гидродинамике распространено предположение, что каждый бесконечно малый объем находится в термодинамическом равновесии, так что (1) выполняется в каждой точке жидкости. Я делаю это предположение. Я также предполагаю, что жидкость является «ньютоновской», так что тензор вязких напряжений пропорционален скорости деформации. Константой пропорциональности является динамическая вязкость, $\mu$ , единицей измерения которого является [кг/(мс)].

Динамическая вязкость является «материальным свойством»; оно не зависит от движения жидкости. В общем случае она меняется в пространстве, так что $\mu = \mu(\mathbf{x},t)$ . Его величина является свойством материала и зависит от его термодинамического состояния.

Кажется, невозможно найти, как $\mu$ зависит от термодинамического состояния из (1). Давление имеет «почти» правильные единицы измерения, но мне нужно умножить давление на некоторую временную шкалу. $\tau$ [с]. Эта временная шкала должна зависеть от микроскопических свойств материала, и единственный способ, которым я считаю возможным построить ее, — это использовать $l$ [м] длина свободного пробега молекул в жидкости. Построена временная шкала:

т "=" \sqrt{\frac{р}{п}} л . (2)

$\tau = \sqrt{\frac{\rho}{p}} l.\quad (2)$

Используя (2), я нахожу, что динамическая вязкость должна зависеть от $p$ , $\rho$ и $l$ таким образом:

мю "=" С \sqrt{р п} л, (3)

$\mu = C \sqrt{\rho p} l,\quad (3)$

где $C\geq0$ является безразмерной константой.

Чет Миллер

В самом деле, вязкость идеального газа (т. е. реального газа в пределе низких давлений) не зависит от р. См. Берд, Стюарт и Лайтфут, «Феномен транспорта» для выведения, которое вы ищете.

Фрайзен

Неужели это правда? В таком случае для фиксированного

R

$R$ , я совершенно уверен, что мне нужно дополнительное количество

ρ

$\rho$ ,

p

$p$ ,

T

$T$ , и

l

$l$ построить вязкость. Я не могу думать ни о каком таком количестве. Какой бы это был?

Чет Миллер

Смотрите мой ответ ниже.

Ответы (2)

Вязкость идеального газа из размерного анализа

В самом деле, вязкость идеального газа (т. е. реального газа в пределе низких давлений) не зависит от р. См. Берд, Стюарт и Лайтфут, «Феномен транспорта» для выведения, которое вы ищете.
Неужели это правда? В таком случае для фиксированного $R$ , я совершенно уверен, что мне нужно дополнительное количество $\rho$ , $p$ , $T$ , и $l$ построить вязкость. Я не могу думать ни о каком таком количестве. Какой бы это был?

Пиркс · Answer 1

Ваша интуиция ошибается в этом. Рассмотрим одномерный установившийся поток, скажем, в $x$ -направление, с градиентом скорости в $y$ -направление. Таким образом, частицы на данном уровне имеют среднюю скорость

\bar{ты} "=" (ты (у), 0, 0)^{Т},

$\bar{\mathbf u}=(u(y), 0, 0)^T,$ и колебания скоростей

{ты}^{'} "=" ({ты}^{'}, в^{'}, ж^{'})^{Т} .

${\mathbf u}'=(u', v', w')^T.$

Рассмотрим частицы, которые в момент времени $t_0$ расположены в $(x,y_0)^T$ , которые имеют скорости ${\mathbf u}=(u_0+u', v', w')^T.$ Эти частицы в среднем проходят расстояние, равное длине свободного пробега $l$ на этой скорости, прежде чем столкнуться с другими частицами. Таким образом, частицы мигрируют в другую $y$ положение, где средняя скорость частиц будет

\bar{ты (у)} "=" (ты (у_{0}) + (у - у_{0}) \frac{\partial ты}{\partial у}, 0, 0)^{Т} .

$\bar{\mathbf u(y)}=(u(y_0)+(y-y_0)\frac{\partial u}{\partial y}, 0, 0)^T.$ Обратите внимание, что средняя разница в

x

$x$ -составляющая скорости таких частиц поэтому будет пропорциональна длине свободного пробега

l

$l$ раз интеграл

I

$I$ над распределением

v^{'}

$v'$ и

w^{'}

$w'$ скорости, что здесь не имеет значения: у нас есть

y - y_{0} = I l

$y-y_0=I\,l$ . Таким образом, средняя разность скоростей для таких частиц равна

\bar{Δ u} = I l (\partial u / \partial y)

$\bar{\Delta u}=I\,l\,(\partial u/\partial y)$ .

Поскольку предполагается, что средняя скорость остается постоянной, скорость таких частиц будет скорректирована до скорости их нового состояния. $y$ -позиция. Вязкие силы соответствуют работе, необходимой для достижения этого. Следовательно, эти силы должны быть пропорциональны градиенту скорости, умноженному на длину свободного пробега.

PS: Также см. вывод в статье Википедии о вязкости .

Спасибо за очень хороший аргумент, почему вязкость увеличивается с $l$ . Это развило мою интуитивную картину вязкости. Согласны ли вы с такой картиной вашего аргумента: «Если длина свободного пробега велика, жидкость более «запутана». Если обмен импульсами между различными частями жидкости иллюстрируется пружинами, это будет до некоторой степени напоминать паутину пружин, которые толкают / тянут друг друга на некоторое расстояние. Удлинение каждой пружины (увеличение среднего свободного пробега) делает разные части жидкости более «связанными» (фактически более вязкими)».
Да, понятие «повышенная запутанность» кажется значимой интуитивной метафорой происходящего. Повышенная «запутанность» означает, что сопротивление сдвиговой деформации будет выше.

Чет Миллер · Answer 2

Чет Миллер

Согласно Берду, Стюарту и Лайтфуту, «Явления переноса», глава 1, Максвелл (1860 г.) получил следующее выражение для вязкости идеального газа, состоящего из твердых сфер:

мю "=" \frac{2}{3 π} \frac{\sqrt{π м к Т}}{π г^{2}}

$\mu=\frac{2}{3\pi}\frac{\sqrt{\pi mkT}}{\pi d^2}$ где m — масса каждой сферы, а d — ее диаметр. Вывод представлен в книге. Обратите внимание, что это выражение действительно не зависит от давления. Они также представляют график пониженной вязкости в зависимости от пониженной температуры и пониженного давления.

Фрайзен

Что

k

$k$ ? постоянная Больцмана?

Фрайзен

Если это так, то мое выражение согласуется с этим. Учтите, что масса

m

$m$ каждой сферы равна плотности

ρ

$\rho$ разделить на числовую плотность

η

$\eta$ :

м "=" \frac{р}{η} . (1)

$m = \frac{\rho}{\eta}. \quad (1)$ Уравнение состояния:

п "=" η к Т . (2)

$p = \eta k T. \quad (2)$ (1) и (2) дает, что:

м к Т "=" \frac{п р}{η^{2}} .

$m k T = \frac{p \rho}{\eta^2}.$ Таким образом:

\frac{\sqrt{м к Т}}{г^{2}} "=" \frac{\sqrt{п р}}{η г^{2}} .

$\frac{\sqrt{m k T}}{d^2} = \frac{\sqrt{p \rho}}{\eta d^2}.$

η d^{2}

$\eta d^2$ должен быть пропорционален обратному значению длины свободного пробега (обратному значению площади поперечного сечения, умноженной на числовую плотность), поэтому:

мю \propto \sqrt{р п} л .

$\mu \propto \sqrt{\rho p}l.$

Фрайзен

Но у вас есть важный момент в том, что для случая твердой сферы и если вывод в «Явлениях переноса» верен, вязкость для данного молекулярного состава зависит только от температуры. Причина, по которой

ρ

$\rho$ и

p

$p$ входит в мое уравнение, должно быть, что они, в свою очередь, зависят от

m

$m$ и

d

$d$ .

Чет Миллер

Ознакомьтесь с выводом в «Транспортных явлениях». Это книга, проверенная временем. Она используется уже почти 70 лет, а ее обновленная версия вышла примерно в 2002 году. За свою долгую карьеру я использовал эту книгу чаще, чем все остальные книги вместе взятые.

Вязкость идеального газа из размерного анализа

Фрайзен

Чет Миллер

Фрайзен

Чет Миллер

Ответы (2)

Пиркс

Фрайзен

Пиркс

Чет Миллер

Фрайзен

Фрайзен

Фрайзен

Чет Миллер

Как вязкая диссипация влияет на температуру жидкости в трубе?

Справедливость конститутивных диффузионных потоков

Как рассчитать удельный вес воздуха?

Закон Стокса пропорциональности радиусу

Как я должен думать о жидкости с точки зрения межатомного потенциала и молекулярной скорости?

Как вязкость вызывает диссипацию? [закрыто]

Интуитивное объяснение закона Пуазейля — почему r4r4r^4?

Почему вязкость зависит от масштаба вещей?

Как найти силу, чтобы вывести pV=Nmv2pV=Nmv2pV=Nmv^2?

Земноподобная атмосфера нарушает второй закон термодинамики из-за теплопроводности?