Аэродинамическая устойчивость формы усеченного конуса

Предложение: Мы предполагаем следующее.

1) Сила, действующая со стороны воздуха на поверхность, представляет собой чистое давление, то есть нормальное к поверхности без трения. Давление увеличивается по отношению к величине нормальной к поверхности составляющей скорости набегающего воздушного потока и равно нулю, когда нормальная к поверхности составляющая становится отрицательной.

2) Поверхность капсулы осесимметрична. Отметьте пересечение оси симметрии и поверхности (нижней), обращенной к входящему воздушному потоку.$B$. Внутренний нормальный вектор$\vec n$любого бесконечно малого участка поверхности либо пересекает ось в точке$N$некоторое конечное расстояние от$B$или$\vec n$параллелен оси. Центр масс капсулы$C$находится между$B$и$N$.

Капсула обеспечивает аэродинамическую устойчивость.

Прежде чем представить доказательство этого утверждения, я приведу правдоподобную игрушечную модель этой функции давления воздушного потока. Реалистичная функция наверняка будет сложнее.

Однако, что интересно, через два с половиной месяца после того, как я опубликовал этот ответ, я наткнулся на теорию гиперзвуковой аэродинамики, которая неожиданно полностью подтвердила следующий вывод как правильный расчет давления гиперзвукового (3-5 Маха) воздушного потока на в значительной степени осевой симметричное тело с тупой геометрией поверхности. см. уравнения (11-2) и (11-3) главы 11 по гиперзвуковой аэродинамике из лекции У. Мейсона по конфигурационной аэродинамике . Найдите «Ньютоновская теория удара» в прилагаемой к этой главе PPT .

Предположим, столб воздуха бесконечно малой площади поперечного сечения$dA$сталкиваются с гранью, вектор нормали к которой образует угол$\theta\in\big[0,\frac\pi2\big]$с вектором направления воздушного потока. Воздух полностью упруго отскакивает от грани. Тогда изменение импульса (все в нормальном направлении грани) в единицу времени равно$2\rho v^2\cos\theta dA$, где$\rho$плотность воздушного потока и$v$скорость этого. Площадь, на которой происходит это изменение импульса, равна$\frac{dA}{\cos\theta}$. Делим первую величину на вторую, получаем давление$p(\theta):=2\rho v^2\cos^2\theta$. Теперь частицы, прибывающие раньше, отскакивают от поверхности нормально и полностью упруго сталкиваются с частицами, прибывающими позже, и снова отскакивают обратно к поверхности. В силу симметрии средняя скорость частицы вблизи поверхности обращается в нуль в направлении нормали к поверхности, но ее составляющая, касательная к поверхности, остается. Макроскопически жидкость в среднем как целое движется по касательной к поверхности. В качестве альтернативы мы можем предположить полное неупругое столкновение молекулы воздуха с поверхностью, так что импульс, нормальный к поверхности, полностью рассеивается, только тангенциальная составляющая остается неизменной, поэтому молекулы воздуха после столкновения движутся параллельно поверхности. В этом случае понятно$p(\theta):=\rho v^2\cos^2\theta$что составляет половину от предыдущего значения, поскольку передаваемый импульс по нормали к поверхности вдвое меньше, чем в упругом случае. В случае фракционно-упругого удара$p(\theta):=(1+\alpha)\rho v^2\cos^2\theta$где$\alpha\in[0,1]$– коэффициент упругости при столкновении.

При этом та часть поверхности объекта, которая находится в «тени» набегающего воздушного потока, останется нетронутой воздушным потоком и, следовательно, не будет испытывать давления.

Доказательство:

1) 2-мерный.

Сформулируем задачу формально. Позволять$s\in[-s_0,s_0],\,s_0>0$измерьте расстояние со знаком от пересечения оси симметрии с поверхностью. Обозначим единичный вектор внутренней нормали в точке$s$к$\hat n(s)$. Позволять$\theta(s)$быть углом от$\hat n(0)$к$\hat n(s)$с направлением против часовой стрелки в качестве положительного направления для угла.$\theta(-s)=-\theta(s)$по осевой симметрии. Пусть угол от$\hat n(s=0)$к направлению входящего воздушного потока быть$\theta_a$также с направлением против часовой стрелки как положительное направление. Поместите кривую$(x(s),y(s))$в декартовой координате так, что$(x(s=0)=0,y(s=0)=0)$а центр масс находиться в$(x=0,y=y_c)$. У нас есть$(x(-s),y(-s))=(-x(s),y(s))$. Позволять$p(\beta)$давление как функция угла$\beta$по отношению к входящему воздушному потоку. Крутящий момент на каждой кривой относительно$(0,y_c)$является$l(s)p(\theta_a-\theta(s))$где$l(s)\hat z = \big((x(s),y(s))-(0,y_c)\big)\times \hat n(s)$.

Без ограничения общности полагаем$\theta_a>0$. В противном случае мы можем просто отразить координату относительно$y$оси и получить обратно ту же проблему из-за осевой симметрии.

Общий крутящий момент, если учитывать только поверхность, обращенную к входящему воздушному потоку,

КЭД