Аналитическая формула лазерного резонатора для суммы мод

Я думаю, что следующее может помочь:

Лазерные моды резонатора длиной$L$имеют следующий (угловой) частотный разнос:

$$\begin{equation} \Delta \omega = 2\pi c/(2L) = 2\pi/(T_c) \end{equation}$$

Здесь,$T_c$время прохождения резонатора туда и обратно. Стоячие моды резонатора имеют следующие частоты:

$$\begin{equation} \omega_n = \omega_{\text{offset}} + n\Delta\omega \end{equation}$$

с$n = 0,1,2,3,...$, и$\omega_{\text{offset}}$являющаяся угловой частотой фазы несущей огибающей. Моды резонатора распространяются следующим образом:

$$\begin{equation} E_n(z,t) = a_n \exp\left[ i(k_n z\pm\omega_nt + \phi_n)\right] \end{equation}$$

где$a_n$- амплитуда волны,$\phi_n$его фазы и$\pm$используется для волн, распространяющихся в обоих направлениях. Полость будет иметь$N$продольные моды, а циркулирующее поле внутри него можно выразить как их суперпозицию:

$$\begin{equation} E(z,t) = \sum_{n=q_0}^{q_0 + N-1} a_n \exp\left[i(k_nz - \omega_n t + \phi_n)\right] \end{equation}$$

Теперь мы можем сделать некоторые предположения, чтобы использовать приведенную вами формулу геометрической прогрессии. Предположим, что спектральный профиль лазера представляет собой функцию цилиндра, так что все волны под знаком суммы имеют одинаковую амплитуду$E_0$. Можно также для простоты предположить, что все волны имеют одинаковую фазу, поэтому$\phi_n=0$(здесь также не слишком большая потеря общности, так как в резонаторе с блокировкой модели моды резонатора имеют четко определенное фазовое соотношение, даже когда фаза не плоская). Учитывая волну на$z=0$уравнение для$E(z,t)$становится:

$$\begin{equation} E(0,t) = E_0\sum_{n=q_0}^{q_0 + N-1} \exp\left[-i(\omega_{\text{offset}} + n\Delta\omega)t\right] \end{equation}$$

Рассматривая это как геометрическую прогрессию:

$$\begin{equation} E(0,t) = E_0\exp(-i\bar{\omega}t)\frac{\sin[(N/2)\Delta\omega t]}{\sin[(1/2)\Delta\omega t]}. \end{equation}$$

Полоска указывает среднюю частоту колебательных мод. Таким образом, эта суперпозиция мод дает лазерный выход, который представляет собой бегущую волну с угловой частотой$\bar{\omega}$, и который модифицируется огибающей функцией, заданной выражением$\sin[(N/2)\Delta\omega t] / \sin[(1/2)\Delta\omega t]$.

Для этого есть много источников, так как это стандартный подход к представлению идеи о модах и их фазах в лазерной физике (так что узнайте об этом, если вы планируете изучать больше!). Именно по этой причине я пропустил некоторые промежуточные шаги в математике. Если это объяснение вас не устраивает, то есть довольно много (блестящих) наборов конспектов лекций в Интернете для такого рода вещей, хотя, по общему признанию, может потребоваться много копания, чтобы получить нужную вам информацию. Ознакомьтесь с конспектами лекций Рика Требино . Однако, сказав это, я обнаружил, что следующий учебник был очень полезным (и я думаю, что это объяснение, взятое из моих личных заметок, находится здесь непосредственно): Laser Physics, Oxford Master Series in Atomic, Optical, and Laser Physics, (авторы: Хукер и Уэбб).