Из-за принципа неопределенности Гейзенберга$\Delta x\Delta p\gtrsim \frac{\hbar}2$, нельзя заставить квант иметь нулевой импульс в любом направлении. Так что нельзя сказать, что фотоны движутся в одном направлении — это просто упрощенное описание работы лазера. В действительности, чем тоньше пучок, тем выше расходимость.

Сравните, например, лазер DPSS (например, зеленую лазерную указку) с диодным лазером (например, красную лазерную указку).

• В DPSS-лазере активный материал будет иметь диаметр порядка сотен микрометров, а выходящий пучок будет начинаться с еще меньшего диаметра по разным причинам. Расхождение совсем небольшое: если вы уберете коллиматорную линзу, ваше световое изображение от зеленой лазерной указки будет через несколько сантиметров после того, как свет пройдет несколько метров. Угол расхождения будет$\sim \lambda/d=532\text{nm}/100\operatorname{\mu m}\sim0.3^\circ$.

• Если вы попробуете сделать то же самое с красной лазерной указкой, то увидите, что ее свет достаточно сильно расходится: пройдя несколько сантиметров в направлении распространения, он уже будет давать изображение в несколько сантиметров. Это связано с тем, что активная зона диодного лазера имеет диаметр порядка нескольких микрометров. Это делает выходной пучок довольно тонким, что делает$\Delta x$маленький и поэтому$\Delta p$высоко, и это то, что приводит к высокой дивергенции. Угол расхождения будет$\sim \lambda/d=640\text{nm}/1\operatorname{\mu m}\sim 40^\circ$. Фактический угол будет зависеть от того, какое поперечное направление вы выберете, потому что активная зона$\sim 10\times$в одном направлении дольше, чем в другом.

В общем, чем толще ваш начальный лазерный луч, тем он более коллимирован, поэтому, если вам удастся создать лазер (видимой длины волны) с толщиной луча, начинающейся с 1 см, вы получите почти идеально коллимированный лазерный луч.

Говорить о фотонах не означает отказываться от концепции пространственной моды. Если вы посмотрите на расходящийся лазерный луч и ослабите его до уровня одиночных фотонов, он все равно будет иметь те же пространственные свойства. Затухание не меняет способ распространения света (или фотонов). Предположение, что все фотоны распространяются в одном направлении, неверно.

Я публикую это как второй ответ, так как длина комментариев ограничена. Для лазерного резонатора (цилиндрической геометрии) зеркального разделения$d$, торцевые зеркала обычно сферические с радиусами$R_1$а также$R_2$. Здесь мы должны осознавать знаки. Вогнутые зеркала имеют положительный радиус (для этих целей), а выпуклые зеркала имеют отрицательный радиус. Это НЕ обычный протокол в обычной лучевой оптике.

Мы можем определить две переменные:

Можно показать, что резонатор устойчив тогда и только тогда, когда$0 < g_1 \times g_2 <1$

Следовательно, оба$g_1$а также$g_2$должны быть одного знака, положительного или отрицательного.

Диаграмма стабильности$g_2$заговор против$g_1$($y$&$x$) показывает, что все устойчивые резонаторы находятся либо в первом, либо в третьем квадранте; с конфокальным резонатором,$R_1 = R_2 = d$по происхождению ($g_1 = g_2 = 0$).

Плоско-плоскостной резонатор Фабри Перо - это точка$(1,1)$на схеме и концентрический резонатор,$R_1 = R_2 = \frac{d}{2}$это точка$(-1,-1)$.

Все резонаторы второго и четвертого квадрантов нестабильны, и$g_1 \times g_2 = 1$графики в виде прямоугольных гипербол первого и третьего квадрантов, за которыми могут быть обнаружены другие неустойчивые резонаторы.

Конфокальный резонатор происхождения считается наиболее эффективным в большинстве ситуаций, так как имеет наименьшие потери и наименьшие диаметры зеркал. Перетяжка луча находится в центре резонатора, а торцевые зеркала геометрически идентичны, но обычно они имеют разные отражающие покрытия, чтобы выпустить часть энергии.

Полуконфокальная полость имеет$g_1 = 1$а также$g_2 = \frac{1}{2}$как правило, дающие плоскость выходного зеркала.

Обширное разоблачение появилось в «Applied Optics», 5, 1550, октябрь 1966 г., и одновременно в Proc IEEE, 54, 1312, октябрь 1966 г., и с тех пор широко цитируется.

Некоторые предостережения. В лазерах резонатор всегда заполнен (не обязательно полностью) некоторой «усиливающей средой», твердой, жидкой или газообразной, поэтому при расчетах по волновому уравнению Максвелла необходимо учитывать фактический показатель преломления усиливающей среды и использовать правильный в длине волны резонатора, которая обязательно изменится, когда луч выйдет из лазера.

Иногда активная лазерная среда будет иметь торцевые зеркала под углом Брюстера, которые делают плоскость лазера поляризованной, и тогда фактические зеркала лазерного резонатора являются внешними, поэтому работают в «воздухе».

Математика режимов лазера с гауссовским лучом - очень интересный материал, и с ним довольно весело работать (во всяком случае, для меня).

Лазеры очень высокой мощности обычно держатся подальше от области, содержащей перетяжку луча, чтобы уменьшить электромагнитные поля на концевых зеркалах и предотвратить их повреждение.

параллельные зеркала не могут быть идеально параллельными. они должны быть достаточно выровнены, чтобы фотоны могли отражаться между ними достаточно долго, чтобы произошла генерация. на практике это непросто, но, используя интуитивно понятную геометрию, более короткий и широкий (радиус) оптический резонатор обеспечивает большую устойчивость к смещенным зеркалам (фотоны могут отражаться от оси за несколько проходов, не пропуская ни одно из зеркал) с недостатком, заключающимся в создании большего луча. поясной лазер.

Напротив, узкая и длинная полость требует более строгого выравнивания, поскольку небольшой угол отклонения при движении фотона внутри полости быстро заставит его покинуть среду после нескольких проходов.

использование вогнутых зеркал значительно помогает ситуации. но пока есть ненулевой радиус луча, будет расходимость. для плоских зеркал восприятие идеальной коллимации в резонаторе является иллюзией из-за того, что резонатор просто слишком короток, чтобы наблюдать какое-либо расхождение.

Электромагнитные волны дифрагируют, поэтому плоская волна может существовать только в одном месте вдоль оси распространения (в однородной однородной среде). В полупроводниковом лазере торцевые зеркала могут быть плоскими кристаллическими гранями; но они не всегда; например, их нет в VCSEL; где часто используются зеркала Брэгга.

Меньшие диаметры источника приводят к большим углам дифракции, которые зависят от соотношения диаметра источника и длины волны, поэтому полупроводниковые лазеры могут иметь очень большие углы луча.

Объемный резонатор с параллельными торцевыми зеркалами нестабилен, поэтому для лазера это плохой выбор. На практике существует физическая «усиливающая среда», в которой волны распространяются в резонаторе, и неоднородности в этой среде делают эффективную полость непараллельной; особенно в полупроводниковых лазерах, где легирование примесями сделает показатель преломления неоднородным.

Чтобы добавить к ответу Руслана:

1. Говорите ли вы о фотонах или классических полях, объяснение точно такое же. Уравнения Максвелла представляют собой точное квантованное описание распространения фотонов; Я до тошноты болтаю об этой теме здесь (Как мы можем интерпретировать поляризацию и частоту, когда имеем дело с одним фотоном?) и здесь (Электромагнитное излучение и кванты) , поэтому, если вам нужна дополнительная информация, см. эти ответы;

2. Итак, теперь мы подходим к механизму, который устанавливает нижнюю границу расходимости луча, а именно к дифракции , а минимальная расходимость описывается точно такой же математикой (подробнее об этом далее), что и принцип неопределенности Гейзенберга, но я считаю, что это ошибочно думать об этих двух явлениях как об одном и том же, даже если их математика одинакова.

Итак, давайте сосредоточимся на дифракции: сначала коротко о том, что я имею в виду под этим словом. Рассмотрим поле на плоскости, скажем$z = 0$и разбить его с помощью разложения Фурье вариации поля по плоскости$z=0$на составляющие плоские волны, которые являются «модами» уравнений Максвелла, поскольку их описание распространения состоит просто в том, что поля становятся задержанными по фазе на простой масштабный коэффициент$\exp(i\,\mathbf{k}\cdot\mathbf{\Delta r})$под действием перевода$\mathbf{\Delta r}$. Каждая составляющая плоская волна имеет различное направление, определяемое волновым вектором$\left(k_x, k_y, k_z\right)$с$k^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2$( т . е . эквивалент уравнения Гельмгольца в пространстве Фурье), то есть все волновые векторы имеют одинаковую величину, но разные направления. Итак, когда мы спрашиваем, как выглядит поле при другом значении$z$, мы строим поле из наших составляющих плоской волны в этой точке (используем обратное преобразование Фурье). Однако теперь, поскольку все волновые векторы направлены в разные стороны, все плоские волны претерпели разную фазовую задержку при достижении нового значения$z$(хотя их фаза опережает$k$радиан на единицу длины в направлении соответствующего волнового вектора). Следовательно, конфигурация поля искажается всеми этими различными фазовыми задержками. Я набросал эту идею на рисунке ниже:

Теперь более подробно изучим дифракцию. Подумайте об одномерной задаче, поэтому у нас есть равномерно освещенная щель некоторой конечной ширины.$w$моделирование выхода лазера; в этой упрощенной системе есть только двумерные волновые векторы. Экран с прорезью находится в$z = 0$плоскость и одно ортогональное направление$x$ось. Все декартовы компоненты полей удовлетворяют одному и тому же уравнению (Гельмгольца), поэтому мы можем обсудить принципы, просто взглянув на одно скалярное поле.$\psi$(скажем, электрическое поле$x$-составная часть). Каждая плоская волна имеет вид$\psi(k_x) = \exp\left(i \,(k_x\, x + k_z\, z)\right)$Преобразование Фурье поля, выходящего из щели, тогда (я опускаю множители$2\pi$в унитарном FT, потому что масштабные факторы не влияют на следующее):

куда$w$— ширина щели, и если щель не очень широкая, преобразование Фурье имеет широкий разброс частот. Это означает, что для$z = 0^+$("непосредственно за" выходом из щели) поле представляет собой суперпозицию

Когда мы подключим$z = 0$во-первых, интеграл — это просто обратный FT к (1), и мы получаем наше исходное щелевое поле. Но теперь поместите некоторое ненулевое значение$z$в: потому что$k_x^2 + k_z^2 = k^2$, у нас есть$k_z = \sqrt{k^2 - k_x^2}$(при условии, что поле работает в$+z$направление), получаем

Вы можете видеть "карабканье",$k_x$-зависимый фазовый коэффициент$\exp(i\, \sqrt{k^2 - k_x^2}\, z) = \exp\left(i\, k\, \cos\theta_x\,\right)$(куда$\theta_x$угол, под которым плоская волна с волновым вектором$(k_x, k_z)$делает с$z$-ось) даст сложное скремблирование, которое вы видите как «дифракцию». К этому интегралу применяются различные приближения, в частности Фраунгофера и Френеля. Угол компонента Фурье с$x$составляющая волнового числа$k_x$делает с$z$-ось$\theta = \arcsin (k_z/k)\approx k_s/k$. Итак, мы видим, что преобразование Фурье поперечной полевой зависимости определяет расходимость. В приведенном выше мы видим взаимную связь между грубой мерой$2\pi/w$максимального угла наклона составляющих плоских волн и «удержания»$w$светового поля к щели. Расходимость луча и ширина луча действительно связаны неравенством типа Гейзенберга, и если мы измеряем расходимость и ограничение луча по среднеквадратичным значениям, мы действительно можем показать следующее из основных свойств преобразований Фурье. Если$f(x)\in \mathbf{L}^2(\mathbb{R})$а также$F(k_x)$является ее преобразованием Фурье, то произведение среднеквадратичных разбросов обеих функций ограничено следующим образом. Без ограничения общности предположим, что$f(x)$реально и$\int_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,\mathrm{d}\,x = \int_{-\infty}^\infty k_x\,F(k_x)\,\mathrm{d}\,k_x= 0$, тогда:

и, кроме того, неравенство насыщается гауссианом$f(x)$ $f(x) \propto \exp\left(-\frac{x^2}{2\,\sigma^2}\right)\,e^{-i\,k_0\,x}$для некоторых вещественных констант$\sigma$а также$k_0>0$, т . е . такие функции (их преобразования Фурье также являются гауссовыми) достигают равенства в приведенной выше оценке.

Итак, мы имеем, поскольку$\theta \approx k_x / k$:

Подключение$w = 1\mathrm{mm}$ширина луча для$\lambda =500\mathrm{nm}$длина волны света, мы получаем расходимость луча$\Delta \theta \approx 10^{-5} \mathrm{radian}$. Это типичная расходимость луча для высококачественного лазерного чипа диаметром 1 мм. Существует некоторый произвол в том, какие меры мы используем для расходимости луча (поскольку гауссовы лучи теоретически имеют бесконечную ширину): часто это угол при вершине конуса, содержащего$1 - e^{-2}$мощности луча. Но я в равной степени видел среднеквадратичное значение Гаусса$\sigma$или удвоенное это значение (можно говорить об углах при вершине или полуугле конуса), используемое в качестве ширины луча; эти$1 - e^{-2}$ширина луча, деленная на$2\sqrt{2}$а также$\sqrt{2}$, соответственно. Вы должны быть немного осторожны с определением расходимости луча.

Применение принципа неопределенности Гейзенберга к свету

Закончим с принципом неопределенности Гейзенберга. Вторая часть моего ответа Длительность импульса одиночного электрона, рассматриваемого как волна , показывает, как мы можем вывести следующее из канонического соотношения коммутации$X\,P - P\,X = i\,\hbar\,I$только между сопряженными квантовыми наблюдаемыми:

Мы всегда можем найти координаты для нашего квантового состояния гильбертова пространства такие, что$X$простой оператор умножения и$P$простой производный оператор$-i\hbar \mathrm{d}_x$

и поскольку такие координаты положения и импульса отображаются друг в друга с помощью преобразования Фурье (поскольку собственные функции$\mathrm{d}_x$имеют форму$e^{i\,k_x\,x}$). Следовательно, применяются точно те же методы и идеи, что и выше, поэтому принцип неопределенности Гейзенберга кажется таким похожим на идеи в моем ответе. Но наверняка это не одно и то же. HUP нельзя применить к свету для определения положения-импульса, потому что существуют проблемы с определением положения, наблюдаемого для фотона. Это связано с тем, что если$(\vec{E}, \vec{B})$является решением уравнений Максвелла, то такие вещи, как$(x_j \vec{E}, x_j \vec{B})$(куда$x_j$– декартовы координаты) в общем случае нет (нарушаются законы Гаусса, свидетельствующие о бездивергентности в свободном пространстве). Конечно, HUP всегда применяется к некоммутирующим (сопряженным) наблюдаемым, и в КЭД есть много пар таких. Сравните это со скалярным квантовым состоянием электрона в нерелятивистском уравнении Шрёдингера для скалярных массивных частиц, где скалярные собственные состояния имеют вид$\mathbf{L}^2$полным, так что если$\psi(x)$является квантовым состоянием в координатах положения, то$x \psi(x)$также находится в гильбертовом пространстве состояний. Можно, конечно, определить поле интенсивности, которое дает распределение вероятности для (деструктивного) фотодетектирования фотона, но это отличается от вопроса, где (наблюдаемое положение) электрон находится на орбите. Электроны можно детектировать неразрушающим образом, для фотонов это сделать очень сложно. Кроме того, наблюдаемые положения легко определяются только для скалярных квантовых состояний в нерелятивистских первых квантованных описаниях: конечно, нерелятивистских первых квантованных описаний фотона не существует . Состояние электрона с биспинорным значением также является странным, и вопрос о том, где находится электрон, также не может быть решен простым наблюдаемым положением. Теперь вы все еще можете определить импульс с помощью обычной наблюдаемой, потому что собственные функции$-i\,\hbar\,\partial_j$являются плоскими волнами, т.е. хорошо определенными импульсными состояниями. Но когда вы говорите о локализации фотонов — распределении вероятности того, где их обнаружить, — вы говорите о дифракции. У него точно такая же математика, как у HUP, как я показал в своем ответе выше. Сказав это, Маргарет Хоутон — одна из немногих исследователей, которые сделали шаг назад и рассмотрели способы, с помощью которых мы можем осмысленно говорить о позициях фотонов, то есть то, что мы можем спасти из-под обломков вышеупомянутых проблем: она выводит «позицию». наблюдаемого с коммутирующими компонентами, по сути, путем придумывания чего-то, что имеет канонические коммутационные отношения с импульсом, наблюдаемым по определению, и продолжает строить вторую квантованную теорию с этими идеями. Вы обнаружите, что получаете то, что обычно определяется как наблюдаемое положение, ПЛЮС некоторые интересные и странные термины, связанные с топологической (Берри) фазой фотона. Другими словами, она явно показывает, как привычные «непроходные» теоремы, запрещающие наблюдаемое положение фотона, проявляют себя как чрезвычайно интересные термины, которые необходимо добавить к «обычному» и дефектному положению наблюдаемого.См. ее личный сайт для ее документов .

Инженерное примечание

Помимо дифракции, есть также очень определенные инженерные причины, по которым в пучки намеренно вводится небольшая расходимость, чтобы легче реализовать резонатор с помощью стабильных мод, как отмечено в ответе Джорджа Э. Смита. В результате некоторые лазеры имеют расходимости несколько выше моих цифр выше (они далеки от насыщения неравенства типа Гейзенбера), но, по той же причине, есть много лазеров, которые очень близки к насыщению этого неравенства. Излишне говорить, что эти последние не являются «начальным уровнем», используемым в лазерных указках.

Аспект, который я узнал, который отличается от других ответов, данных здесь, основан на том факте, что активная лазерная среда будет реагировать на фотоны, которые проходят через нее, производя больше фотонов на том же пути, но также будет спонтанно испускать фотоны, путешествующие случайным образом. пути. Любая энергия, которую лазерный носитель тратит на выполнение любой из этих задач, должна быть заменена внешним источником питания, чтобы поддерживать его в рабочем состоянии.

Лазеры работают за счет того, что некоторые из «спонтанных» фотонов случайно начинают двигаться в полезном направлении, собирая много дополнительных фотонов, чтобы идти с ними, а затем заставляют многие из этих фотонов уйти через наполовину посеребренное зеркало в полезном направлении. . Любая энергия, сообщаемая фотонам, которые в конечном итоге покидают зеркало в полезном направлении, является потраченной с пользой. Любая энергия, сообщаемая фотонам, которые в конечном итоге уходят каким-то другим путем, является потраченной впустую энергией.

Поскольку лишь небольшая часть спонтанно испускаемых фотонов будет направлена ​​в нужном направлении, большая часть переданной им энергии будет потрачена впустую; это неизбежный факт жизни. С другой стороны, большая часть мощности, подаваемой на лазер, тратится не на спонтанное излучение фотонов, а на фотоны, которые стимулируются другими фотонами. Таким образом, важно, чтобы спонтанные фотоны, которые не находятся на полезных путях, покидали резонатор как можно быстрее — никогда не возвращались — и уносили с собой как можно меньше дополнительных фотонов (поскольку каждый фотон, стимулируемый бесполезным фотон представляет собой пустую трату энергии).

Если бы кто-то имел два совершенно параллельных зеркала одинакового размера и предположил, что начальные наклоны фотонов равномерно распределены случайным образом, и рассмотрел бы жизнь случайно испускаемого фотона, начинающегося на одном конце резонатора; половина из тех, что попали в дальнее зеркало, впоследствии не попадут в ближнее зеркало; треть из тех, которые попали в ближнее зеркало, после этого не попадут в дальнее зеркало. Хотя доля первоначальных фотонов, которые пережили N отскоков, но умерли при следующем, будет уменьшаться по мере увеличения N, количество потерь энергии, представляемых каждым таким начальным фотоном, будет увеличиваться еще больше.

Изгибая зеркала надлежащим образом, можно гарантировать, что почти все первоначальные фотоны, пережившие многократные прохождения через резонатор лазера, окажутся на путях, способных выдержать еще много путей, в то время как первоначальные фотоны, пути которых не переживут многократных прохождений быстро отсеять. Это дает значительное качественное улучшение эффективности (достаточно большое, чтобы превратить лазер из чего-то непригодного в практическое). Существуют технические компромиссы между размером зеркала, эффективностью и когерентностью луча; если конструкция лазера более агрессивно пытается использовать фотоны, слегка смещенные от оси, это сделает его более эффективным, но сделает его луч менее когерентным.