Анализ отрицательного входного сопротивления операционного усилителя

Схема неправильная: вы не можете подать напряжение на этот узел.

Вместо этого вы должны подать ток, скажем, Iin, а затем измерить напряжение инвертирующего входа, и после этого вы можете рассчитать Zin как Vinv/Iin (Vinv = инвертирующее входное напряжение). Iвх — входной ток со знаком пассивной условности (положительный, если идет вправо).

Если вы посмотрите на свою статью, второе уравнение говорит именно об этом (с другими обозначениями). Первое уравнение говорит, что Iin равно

$$Iin=\frac{Vinv-Vout}{R1}.$$ Тогда в статье предполагается, что работает отрицательная обратная связь, поэтому напряжение инвертирующего входа равно напряжению неинвертирующего входа. В результате Vinv (то же самое, что и Vninv) является классической формулой делителя импеданса (в статье предполагается нулевой входной ток на ОУ).

В результате (уравнение 5):

$$Vinv=Vninv=Vout\frac{K \cdot R2}{R2 + \frac{1}{j\omega C}}.$$ Где K — доля R2, ​​выбранная движком потенциометра.

Подставив Vinv в Iin и рассчитав входное сопротивление (Vinv/Iin), на вашем листе должно получиться в точности уравнение 6.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Оказывается, это не так! Даже после некоторых возможных приближений. Результат, аналогичный ур . 6 (т.е. отрицательное сопротивление + отрицательная емкость) достигается путем замены инвертирующего входа неинвертирующим входом.

EDIT2: после некоторой алгебры вы получаете что-то вроде:

$$Zin = \frac {R1 \cdot K} {(k-1)^2+\frac{1}{(\omega CR2)^2}}(k-1+\frac{1}{j\omega C \cdot R2})$$

При предположениях (хотя и не заявленных в статье) k<<1 и «достаточно высокой» частоте первый знаменатель становится равным 1, а член в скобках становится

$$-1+\frac{1}{j\omega C \cdot R2}$$ .

Тогда вы получите экв. 6.

Для определения передаточной функции этой схемы я буду применять описанные здесь Fast Analytical Circuits Techniques или FACTs . Принцип, лежащий в основе FACT, заключается в определении постоянных времени цепей в двух различных конфигурациях: стимул снижается до 0 (0 А или 0 В), а отклик обнуляется. Затем, собирая эти постоянные времени, вы получаете правильную передаточную функцию с низкой энтропией . Низкая энтропия означает, что вы можете видеть, что такое плато (или постоянные или бесконечные значения) и где полюса находятся нули.

Начнем с передаточной функции, связывающей ответ$V_{out}$к стимулу$V_{in}$. Схема показана ниже, и я намеренно заменил потенциометр двумя сопротивлениями.

В своих расчетах я всегда сначала рассматриваю конечный коэффициент усиления операционного усилителя без обратной связи.$A_{OL}$который я позже считаю бесконечным для окончательного выражения. Это позволяет мне моделировать и тестировать различные конфигурации усиления и убедиться, что мои формулы точно соответствуют результатам моделирования постоянного тока. Из приведенного выше эскиза коэффициент усиления по постоянному току является непосредственным и равен:$H_0=-A_{OL}$. Следующий шаг состоит в определении сопротивления, «видимого» с клемм конденсатора, когда возбуждение снижается до 0 В: заменить$V_{in}$по короткому замыканию. Схема ниже:

Если вы хорошо посчитаете с KVL и KCL, вы должны найти постоянную времени, равную$\tau_1=C_1(R_{2a}(1-A_{OL})+R_{2b})\approx -A_{OL}C_1R_{2a}$. Теперь определяем выигрыш$H^1$когда$C_1$сменяется коротким замыканием. Это новая схема ниже:

Выигрыш в этой конфигурации равен:$H^1=-\frac{A_{OL}(R_{2b}+R_{2a})}{R_{2a}+R_{2b}-R_{2a}A_{OL}}\approx \frac{R_{2a}+R_{2b}}{R_{2a}}$. Теперь передаточная функция получается путем применения обобщенной формулы передаточной функции для системы 1-го порядка:$H(s)=\frac{H_0+H^1s\tau_1}{1+s\tau_1}$. Если теперь подставить найденные нами выражения, упростить и учесть бесконечный выигрыш, то должно получиться:$H(s)=\frac{1+s(R_{2a}+R_{2b})C_1}{sC_1R_2a}$который может быть выгодно выражен в низкоэнтропийном формате:

$H(s)=H_{\infty}(1+\frac{\omega_z}{s})$с$\omega_z=\frac{1}{C_1(R_{2a}+R_{2b})}$и$H_{\infty}=\frac{R_{2a}+R_{2b}}{R_{2a}}$

Mathcad может построить эту передаточную функцию, как показано ниже:

Для входного сопротивления это не сложнее. Стимул становится тестовым генератором$I_T$разработка ответа$V_T$через его терминалы. Сначала вы определяете входное сопротивление постоянному току.$R_0$а затем ноль, когда источник тока заменяется коротким замыканием (это вырожденный случай источника тока, напряжение на клеммах которого равно 0 В - ответ обнуляется). Схема показана ниже:

Сопротивление постоянному току$R_0$получается открытием конденсатора$C_1$. Расчет прост и приводит вас к$R_0=\frac{R_1}{1+A_{OL}}$. Полюс рассчитывается путем установки возбуждения на 0 А: разомкните цепь источника тока и рассчитайте сопротивление, «видимое» из$C_1$терминалы в этом режиме. Вы должны найти$\tau_2=C_1(R_{2b}+\frac{R_2a}{1+A_{OL}}\approx C_1R_2b$. Числитель на самом деле такой же, как наш ранее определенный знаменатель, поскольку постоянная времени получается, когда отклик на источнике тока обнуляется (замените его на короткое замыкание), и эта конфигурация аналогична$V_{in}=0$. Переставьте, упростите и реорганизуйте, чтобы найти следующее выражение для$V_{in}(s)$:

$V_{in}(s)=R_0\frac{N(s)}{D(s)}=R_0\frac{1+s\tau_1}{1+s\tau_2}\approx -R_1\frac{sC_1R_{2a}}{1+sC_1R_{2b}}$.

В низкоэнтропийном формате, если учесть$sC_1R_{2b}$у нас есть$Z_{in}(s)=R_{\infty}\frac{1}{1+\frac{\omega_p}{s}}$с$\omega_p=\frac{1}{C_1R_{2b}}$и$R_{\infty}=\frac{R_1R_{2a}}{R_{2b}}$.

Если вы построите это выражение, вы увидите, как фаза достигает -180° и подтверждает отрицательное входное сопротивление:

Изменяя значение потенциометра, вы меняете термин$R_{\infty}$. Приведенная ниже симуляция SPICE идеально соответствует расчетам:

Однако, в отличие от того, что написано в тексте для рисунка 4, схема, по-видимому, генерирует схему, сочетающую отрицательную индуктивность в // с отрицательным сопротивлением. Со значениями моделирования я получаю аналогичный график входного импеданса (величина и фаза), когда я параллельно индуктивности -80-H с -400-k$\Omega$сопротивление.