Анализ полосового фильтра Саллена Ки

Вы можете использовать модифицированный узловой анализ для решения всех неизвестных узловых напряжений и неизвестных токов. Как только вы получите напряжение узла, вы можете найти передаточную функцию. Для анализа я обозначаю узел и ток, как на картинке ниже.

Теперь вы можете написать KCL для каждого узла и ограничение по операционному усилителю.

Вы можете получить 7 уравнений:

Затем вы можете решить 7 уравнений, чтобы получить все неизвестные напряжения и неизвестные токи. Наконец, передаточная функция — это просто V5/V1.

Общие подсказки (работает не только для этой конкретной конфигурации):

Выполните следующие шаги в$s$-домен:

• настроить уравнение вор$v_+$(поз. вход операционного усилителя) как выражение$v_{in}$и$v_{out}$.
• настроить уравнение вор$v_-$(отрицательный вход операционного усилителя) как выражение$v_{out}$.
• решить уравнение$v_+ = v_-$для$v_{out}$(например, с помощью узлового анализа или сетевых преобразований)
• подставить полученное выражение в определение$H(s)$:
  $H(s) = \frac{v_{out}}{v_{in}}$
  Полученное выражение не будет содержать$v_{in}$(или$v_{out}$или$v_{aux}$) больше, но будет просто выражением параметров$R_1$,$R_2$,$R_f$, ..,$C_1$, .. и независимая переменная$s$.

Вы можете использовать инструменты символьной математики, например, sympyпакеты для Python, Maple, Mathematica...

Вот скрипт Python, выполняющий алгебру (используя sympy); не уверен, если правильно:

# deriving the transfer function of a Sallen-Key band pass filter

from sympy import Symbol, symbols, solve, collect

s = Symbol('s')

def Xc(C): global s; return 1 / (s * C)

Vin, Vout, Vaux = symbols('Vin Vout Vaux')
R1, R2, C1, C2, Rf, Ra, Rb = symbols('R1 R2 C1 C2 Rf Ra Rb')
X1, X2 = Xc(C1), Xc(C2)

# get expression for Vaux by solving KCL in node_aux:
Vaux_expression = solve(    (Vin  - Vaux) / R1 
                          + (Vout - Vaux) / Rf 
                                  - Vaux  / X1 
                                  - Vaux  / (X2 + R2), 
                        Vaux)[0]

Vpos = Vaux_expression * R2 / (X2 + R2) # voltage at pos. input of OpAmp
Vneg = Vout * Ra / (Ra + Rb)            # voltage at neg. input of OpAmp

# get expression for Vout by solving equation Vneg = Vpos for Vout
Vout_expression = solve(Vpos - Vneg, Vout)[0]

# get transfer function H(s) by defining formula:
H = Vout_expression / Vin
H = collect(H, s)
print H

Результат:C2*R2*Rf*s*(Ra + Rb)/(C1*C2*R1*R2*Ra*Rf*s**2 + R1*Ra + Ra*Rf + s*(C1*R1*Ra*Rf - C2*R1*R2*Rb + C2*R1*Ra*Rf + C2*R2*Ra*Rf))

Этот фильтр может быть проанализирован с использованием методов быстрых аналитических схем или FACT . Принцип заключается в определении постоянных времени цепи в двух различных конфигурациях: когда возбуждение снижается до 0 В и с нулевым выходом, когда возбуждение возвращается.

Снижение возбуждения до 0 В означает замену источника входного сигнала$V_{in}$по короткому замыканию. Затем «посмотрите» на сопротивление$R$предлагаемые энергоаккумулирующими элементами (колпачками) для формирования постоянных времени,$\tau_1=RC_1$и$\tau_2=RC_2$. Следующие рисунки иллюстрируют этот принцип:

Используя эти два рисунка, вы определяете следующие постоянные времени:

$\tau_1=C_1(R_1||R_f)$

$\tau_2=C_2(\frac{k_1(R_1R_2+R_1R_f+R_2R_f)-R_1R_2}{k_1(R_1+R_f)})$

$b_1=\tau_1+\tau_2$

Затем вы устанавливаете конденсатор 1 в его высокочастотное состояние (короткое замыкание) и определяете сопротивление$R$глядя в$C_2$терминалы:

У вас есть$\tau_{12}=C_2R_2$и$b_2=\tau_1\tau_{12}$

Наконец, вы определяете выигрыш$H^2$когда конденсатор$C_2$это короткое замыкание:

Полная передаточная функция определяется по формуле$H(s)=\frac{sH^2\tau_2}{1+sb_1+s^2b_2}$

Однако, даже если это выражение математически верно, вы ничего не понимаете в выигрыше на плато.$H_{MB}$и частота настройки, которые действительно являются целями дизайна. Вам необходимо переработать формулу в соответствии со следующим низкоэнтропийным форматом:$H(s)=H_{MB}\frac{1}{1+(\frac{\omega_0}{s}+\frac{s}{\omega_0})Q}$. Вот что показывают следующие листы Mathcad и сравнивают различные ответы:

Так что дело не в том, чтобы просто написать передаточную функцию, связывающую$V_{out}$к$V_{in}$но больше преобразование результата в осмысленную форму, из которой вы получаете представление и можете спроектировать для определенной цели в настройке частоты и добротности: это все, что касается ФАКТОВ.

На самом деле есть только два узла, которые нуждаются в тренировке. Все остальные определяются узлом b. Узел входного узла определяется источником входного напряжения.

^{смоделируйте эту схему - схема, созданная с помощью CircuitLab}

Из комментария:> Моя алгебра довольно хороша. Но я не понимаю, как действовать, чтобы закончить с передаточной функцией.

Узел а: применить KCL.

$$\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{f}}+C_{1}s+C_{2}s\right)V_{a}(s)-\frac{1}{R_{f}}V_{o}(s)-C_{2}sV_{b}(s)=\frac{1}{R_{1}}V_{i}(s)\tag{1}$$

Узел b: применить KCL.

$$\left(\frac{1}{R_{2}}+C_{2}s\right)V_{b}(s)=C_{2}sV_{a}(s)$$

Решить для$V_{a}$

$$\left(\frac{1}{R_{2}C_{2}s}+1\right)V_{b}(s)=V_{a}(s)\tag{2}$$

Подставить (2) в (1)

$$\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{f}}+C_{1}s+C_{2}s\right)\left(\frac{1}{R_{2}C_{2}s}+1\right)V_{b}(s)-\frac{1}{R_{f}}V_{o}(s)-C_{2}sV_{b}(s)=\frac{1}{R_{1}}V_{i}(s)\tag{3}$$

Из комментария:>но я не знаю, как вывести уравнения для v+ и v−

Позволять$K=1+\frac{R_{b}}{R_{a}}$. Затем,$V_{o}(s)=KV_{b}(s)$. Подставляем в (3).

Заметить, что$v-=v+=v_{b}$

$$\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{f}}+C_{1}s+C_{2}s\right)\left(\frac{1}{R_{2}C_{2}s}+1\right)V_{o}(s)-\frac{K}{R_{f}}V_{o}(s)-C_{2}sV_{o}(s)=\frac{K}{R_{1}}V_{i}(s)\tag{4}$$

Я оставляю вам алгебру, чтобы упростить ее до формы, показанной в ОП.