Использование wxMaxima для получения передаточной функции от фильтра T-twin и операционного усилителя

Диего Гарсия

Я пытаюсь получить передаточную функцию от этой схемы, используя wxMaxima. Т-образный фильтр с операционным усилителем

Итак, сначала используя идеальную модель операционного усилителя, я знаю, что Vx = Vy, и я могу узнать Vy из этого делителя напряжения из Vo. Входные уравнения

Теперь я решаю эту систему Система алгебраических уравнений

Отсюда я не совсем уверен, что мне делать дальше.

Я пробовал некоторые решения без успеха. Так Неудача

Кто-нибудь может подсказать, что делать дальше? Я не очень хорошо знаком с Maxima и операционными усилителями, но, думаю, у меня есть правильное представление об этом.

Заранее спасибо за любое предложение и ваше время на чтение этого.

Ответы (3)

Суба Томас

Я думаю, вам нужно добавить еще одно уравнение $\frac{\text{Vx}-\text{V1}}{R}+\mathcal{C} s (\text{Vx}-\text{V2}) == 0$ и решить для $V0$ также. Также ваше первое уравнение должно иметь термин $2 \mathcal{C}$ вместо $\mathcal{C}$ .

Вычисления с использованием Mathematica.

sols = Solve[{
(V1 - Vi)/R + (V1 - Vx)/R + (V1 - V0) s 2 \[ScriptCapitalC] == 0, 
(V2 - Vi) s \[ScriptCapitalC] + (V2 - Vx) s \[ScriptCapitalC] + V2/(R/2) == 0, 
Vx == (RA V0)/(RA + RB), 
(Vx - V1)/R + (Vx - V2) s \[ScriptCapitalC] == 0}
, 
{V1, V2, Vx, V0}
];

tfm = TransferFunctionModel[V0/Vi /. sols[[1]] // Simplify, s]

введите описание изображения здесь

Особые случаи:

$RA = 0$ , и любое значение $RB$

тфм/. РА -> 0

введите описание изображения здесь

$RB = 0$ , и любое значение $RA$

тфм/. РБ -> 0

введите описание изображения здесь

$R = 0$ , и любое значение $\mathcal{C}$

тфм/. Р -> 0
$\mathcal{C} = 0$ , и любое значение $R$

тфм/. \[ScriptCapitalC] -> 0

Это режекторные фильтры, когда $\text{RA}<\text{RB}$ .

values = {0.01, 0.1, 1, 10, 100, 1000};
Table[tfm /. {RA -> 1, RB -> 10, R -> f/\[ScriptCapitalC]}, {f, values}];
BodePlot[%, PlotLayout -> "Magnitude", PlotLegends -> values]

введите описание изображения здесь

Они все еще метки, когда $\text{RA}>\text{RB}$ .

Table[tfm /. {RA -> 10, RB -> 1, R -> f/\[ScriptCapitalC]}, {f, values}];
BodePlot[%, PlotLayout -> "Magnitude", PlotLegends -> values, PlotRange -> All]

введите описание изображения здесь

Если $\text{RA}=\text{RB}$ , получается "всепроходные" фильтры.

Table[tfm /. {RA -> 1, RB -> 1, R -> f/\[ScriptCapitalC]}, {f, values}];
BodePlot[%, PlotLayout -> "Magnitude", PlotLegends -> values, PlotRange -> All]

введите описание изображения здесь

Ур.В

Да, четыре случая 1...4 легко вывести. Тем не менее, я все еще думаю, что для RB=0 схема должна иметь нулевую величину для одной единственной частоты (настоящая метка).

Суба Томас

Не могли бы вы объяснить причину этого. С

R B = 0

$RB=0$ система выглядит как полосовой фильтр.

Ур.В

Анализируя два крайних случая f=0 и f бесконечность, мы видим, что в обоих случаях общий коэффициент усиления максимален при (1+RB/RA). Следовательно, он не может появиться как полоса пропускания. Это одна из классических реализаций режекторного фильтра.

Суба Томас

Конечно, это всепроходная система с постоянным коэффициентом усиления.

\frac{RB}{RA} + 1

$\frac{\text{RB}}{\text{RA}}+1$ для

R C = 0

$R C =0$ и

R C \to \infty

$R C \to \infty$ . Значит, между ними должен быть режекторный фильтр? Как вы пришли к такому выводу? И максимально возможный выигрыш

\frac{RB}{RA} + 1

$\frac{\text{RB}}{\text{RA}}+1$ для

all

$\textbf{all}$ частоты и

all

$\textbf{all}$ значения параметров? Опять же, как вы пришли к такому выводу?

Ур.В

Да, двойная Т-образная схема является «сложной» схемой, потому что она может вести себя по-разному, если используется в качестве элемента обратной связи для усилителей с разными коэффициентами усиления. Для значений коэффициента усиления ниже "2" он показывает характеристику метки (и это то, что я имел в виду, потому что это классическое применение этой схемы с единичным коэффициентом усиления). Однако - вы правы, для усиления "2" это allpass. С другой стороны, я не уверен, следует ли нам называть его «всепроходным», потому что он имеет постоянное усиление и постоянную фазу (все 3 полюса и нули идентичны).

Суба Томас

Наверное это крайний случай, поэтому allpass буду брать в кавычки - если только не будет другого имени. Предполагая, что вы убеждены в правильности ответа, к которому я пришел, я думаю, вам следует выяснить, почему ваш ответ не согласуется с моим, и исправить или удалить его, и, по крайней мере, обновить его, чтобы он не вызывал сомнений в моем ответе.

Ур.В

Почему я должен удалить свой ответ? Я уверен, что это правильно! Обратите внимание, что моя передаточная функция третьего порядка в отличие от вашей (2-го порядка). Сравнение возможно только после деления N(s) и D(s) на общую пару полюс/ноль. Вы проверили, демонстрирует ли ваша функция поведение выреза (для усиления единства)? Я сделал!.

Ур.В

Это простая задача, чтобы показать, что ваша функция (единичное усиление для RB = 0) имеет пик 6 дБ на полюсной/нулевой частоте и приближается к «1» для постоянного тока и очень больших частот. Но известно, что схема демонстрирует поведение надреза для единичного усиления.

Ур.В

Извините, но ваши выводы неверны. Для RB<RA у нас есть режекторный фильтр (включая RB=0), а для RB>RA схема не полосовая (как вы утверждаете), а нестабильная схема (полюс на RHP).

Суба Томас

Как мои выводы могут быть неверными, если только законы Кирхгофа и предположение о Vx==Vy неверны? А о каком неустойчивом полюсе вы говорите, ведь его нет и быть не может по правилу знаков Декарта.

Суба Томас

Я начал с 4 основных и конкретных уравнений и пришел к ответу, который можно воспроизвести в любой системе компьютерной алгебры или проверить вручную. Вы приводите какие-то предвзятые представления, основанные на личном опыте. Вчера было что-то про "хитрость системы", сегодня вы говорите что-то про нестабильные опоры и т.д. и т.п., и мы можем продолжать ходить по кругу. Если вы не можете показать мне, где 4 основных уравнения (законы Кирхгофа и предположения Vx==Vy) неверны, выводы неизбежны.

Ур.В

Суба Т., должен признать, что у меня нет ни мотивации, ни времени проверять или исправлять ваши уравнения. Это зависит от вас. Но поверьте мне: ваш результат неверен! Возможно, вы не занимаетесь схемами фильтров, но я могу сказать вам, что показанный активный фильтр Twin-T не является новой или неизвестной схемой. Это одна из хорошо известных топологий реализации полосового режекторного фильтра. И по этой причине числитель 2-го порядка должен показывать основное свойство характеристики надреза: Нет s-члена!

Суба Томас

У вас наверняка было достаточно времени и мотивации, чтобы высказать свое мнение и ответить, но вы не можете проверить 4 уравнения (3 из которых уже были в вопросе)? Это не религия, чтобы «верить» кому-то, поэтому, если у вас нет какой-то осязаемой математики, подтверждающей ваши утверждения, это не имеет большого значения.

Ур.В

Я не "разбрасывался мнениями" - я записал известные ФАКТЫ - не более того. Обратитесь к книге фильтров! Обратите внимание, что анализ схемы не зависит от мнений!

Ур.В

Суба Т., вопрос к вам: согласны ли вы с тем, что числитель передаточной функции надреза НЕ должен содержать s-термин? Содержит ли ваша функция такой термин?

Ур.В

Суба Т., ты нашел свою ошибку? Если нет - вот оно: Введенное вами 4-е уравнение неверно. Вы не должны использовать напряжения узла, которые относятся к входному источнику (это не зависимое напряжение узла). Вместо этого вы должны использовать напряжение узла Vx для 4-го уравнения. Таким образом, все ваши формулы неверны. Жаль это говорить.

Суба Томас

Спасибо, что нашли время! Это первый ощутимый комментарий, который я получил от вас. Однако как первые 3 уравнения могут быть неверными? Так что извините, все мои уравнения не являются неправильными. Он изменил знак одного члена в знаменателе, и это имеет большое значение для последующего анализа, который я сейчас обновил.

Ур.В

Акцент был на ВАШИХ уравнениях. Остальные три экв. дали уже. И - спасибо, что классифицировали мою находку как "первый ощутимый комментарий от меня".

Ур.В

Суба Т., извините - но один из ваших выводов все-таки неверен. Вы не должны слепо доверять всем результатам моделирования. Моделирование переменного тока в частотной области не может выявить нестабильность обратной связи! Для RA<RB s-член в знаменателе ОТРИЦАТЕЛЬЕН!. Это указывает на нестабильность, как я упоминал в своем вкладе. Это НЕ выемка, как вы утверждаете. Это следует из основ обратной связи!!!

Суба Томас

Частотная характеристика показывает характеристики ввода-вывода фильтра, когда он стабилен. Она может быть стабильной или стабильной по своей природе, поскольку является подсистемой более крупной стабильной системы. В обоих случаях можно увидеть характеристики, показанные частотной характеристикой.

Ур.В

Суба Т., как вы думаете, что произойдет, если полюс передаточной функции находится в правой половине s-плоскости? И, как я уже упоминал, моделирование в частотной области (частотная характеристика) не может выявить нестабильности, потому что это анализ только малых сигналов! Попробуйте выполнить анализ TRAN (временная область) - и вы увидите нестабильность (отсутствие линейной производительности в качестве фильтра). Попробуй !!!

Суба Томас

Пожалуйста, перечитайте мой предыдущий комментарий. Это полностью ускользнуло от вас, и все, что я буду делать, если буду продолжать это дальше, — это перефразировать это, как я сделал с (1 + RB / RA) в другом разделе комментариев. Я удивлен вашим удивлением, но эти последние вещи субъективны... так что я могу сказать. В любом случае, мне стало лучше от моего общения с вами, так что спасибо вам и пока.

Ур.В

Возможно, вы узнали, что моделирование не всегда говорит нам правду — иногда полезно использовать собственный мозг (например, для анализа распределения полюсов передаточной функции).

Ур.В

Мой результат выглядит иначе (используя символьный анализатор):

Числитель N(s):

N(s)=2(RA+RB)+sRC*2(RA+RB)+s²R²C²*2(RA+RB)+s³R³C³*2(RA+RB)

Знаменатель D(s):

D(s)=2RA+sRC(6RA-4RB)+s²R²C²*(6RA-4RB)+2s³R³C³RA

Обратите внимание, что для выбранных размеров из-за отмены полюса-нуля передаточная функция может быть упрощена до функции второго порядка. Для выигрыша в единицу (RA=0 и RB бесконечность) числитель не должен содержать ни одного s-элемента.

ОБНОВЛЕНИЕ 1: обновив свой ответ, Суба Томас пришел к уравнению второго порядка. Похоже, что его вычислительная машина смогла обнаружить отмену полюса-ноля.

ОБНОВЛЕНИЕ 2: Вот передаточная функция второго порядка H(s)=N(s)/D(s) после отмены полюса-ноля:

N(s)=1+s²R²C²

D(s)=1+2sRC[2-(1+RB/RA)]+s²R²C² .

Как видно, режекторный фильтр имеет нулевую передачу при wo=1/RC. Полюс-Q определяется выражением Qp=1/2[2-(1+RB/RA)] .

Для единичного усиления (RB=0) макс. полюс-Q составляет Qp=0,5. Для выигрыша в два (RB=RA) имеем H(s)=N(s)/D(s)=1. Как видно, коэффициент усиления не должен превышать «2», иначе s-член в D(s) станет отрицательным, что указывает на нестабильность.

ОБНОВЛЕНИЕ 3: я обновил свой ответ выше после исправления ответов Субы Томаса.

Суба Томас

Мы не можем воспроизвести, как вы получили первые N(s) и D(s) и как вы выполнили отмену нулевого полюса. Отмена полюса-ноля абсолютно неверна. Если бы это было правильно

(2 (R A + R B) + s R C * 2 (R A + R B) + s^{2} R^{2} C^{2} * 2 (R A + R B) + s^{3} R^{3} C^{3} * 2 (R A + R B)) (1 + 2 s R C [2 - (1 + R B / R A)] + s^{2} R^{2} C^{2}) - (2 R A + s R C (6 R A - 4 R B) + s^{2} R^{2} C^{2} * (6 R A - 4 R B) + 2 s^{3} R^{3} C^{3} R A) (1 + s^{2} R^{2} C^{2})

$(2(RA+RB)+sRC*2(RA+RB)+s^2R^2C^2*2(RA+RB)+s^3R^3C^3*2(RA+RB))(1+2sRC[2-(1+RB/RA)]+s^2R^2C^2)-(2RA+sRC(6RA-4RB)+s^2R^2C^2*(6RA-4RB)+2s^3R^3C^3RA)(1+s^2R^2C^2)$ было бы нулем, а это не так!

Ур.В

Каждая книга фильтров будет подтверждать приведенный выше результат (пример: Клод Линдквист, Active Network Design).

Ур.В

Суба Т., могу я порекомендовать вам кое-что: используйте программу моделирования схемы и убедитесь, что показанная схема (для коэффициента усиления операционного усилителя <2) реализует полосовой режекторный фильтр. Отсюда можно сделать вывод, что в числителе передаточной функции не должно быть s-члена. Это основное! Вы также можете показать, что при значениях усиления >2 схема неустойчива. Простое доказательство.

Суба Томас

Это не меняет того факта, что ваша отмена нулевого полюса неверна.

Ур.В

Что значит неправильно? Это не "моя" отмена. Фактом является то, что сеть Twin-T 3-го порядка (даже без какого-либо усилителя) для специальных размеров (2C и R/2) сводится к функции 2-го порядка за счет компенсации полюса-ноля. Можно найти в любом учебнике по таким 4-полюсным сетям. Также может быть подтверждено моделированием (расчет вручную довольно сложен).

Суба Томас

Я уже показал вам общие выражения, которые ввел в алгебраическую систему, и легко увидел, что ваши расчеты были неверны. Чтобы сделать это более осязаемым, предположим, что R, C, RA и RB имеют значение 1. Это приводит к

N (s) = 4 s^{3} + 4 s^{2} + 4 s + 4

$N(s)=4 s^3+4 s^2+4 s+4$ и

D (s) = 2 s^{3} + 2 s^{2} + 2 s + 2

$D(s)=2 s^3+2 s^2+2 s+2$ . Это упрощается до 2. Если вы подставите их в выражения, которые у вас есть после отмены, обе N (s) и D (s) окажутся

s^{2} + 1

$s^2+1$ и это упрощается до 1. Вы хотите сказать мне, что 2==1 правильно!

Суба Томас

Я обнаружил проблему с вашими нулевыми результатами отмены. Числитель нужно умножить на (1+RB/RA). Тогда ваши результаты в порядке, и, что более важно, они будут соответствовать результату, который есть у меня сейчас.

Ур.В

Нет - это не правильно. Анализ распределения полюсов-нулей показывает, что существуют действительный полюс и действительный нуль с одинаковым значением: s,p=s,z=-1/RC. Следовательно, чтобы получить уравнение второго порядка, мы должны разделить числитель и знаменатель функции третьего порядка на (1+1/RC). Это метод отмены полюса-ноля.

Суба Томас

Вы все еще хотите настаивать на том, что 1 == 2 правильно. Это само по себе неправильно. Просто подключите один для R, C, RA и RB и посмотрите, что вы получите. Еще один способ убедиться, что вы ошибаетесь. Каково статическое усиление (усиление по постоянному току) фильтра в двух случаях (до и после подавления полюса-ноля). Может ли усиление по постоянному току измениться из-за отмены полюса-ноля?

Ур.В

Показанную схему обычно используют только для единичного усиления. Вот почему я забыл коэффициент усиления (1 * RA / RB) в числителе функции второго порядка. Вот и все!. (PS: я немного удивлен тоном ваших ответов, постарайтесь сохранять спокойствие).

Диего Гарсия

Я только добавил новый узел в систему уравнений. И удалил еще один узел.

Мы знаем

Vx = Vy = Vo * Ra/(Ra+Rb)
K = Ra / (Ra+Rb)

Так что это было мое решение

И спасибо за ответы про РА и РБ. В лаборатории я видел, что когда K > 1/3, схема сходит с ума.

Использование wxMaxima для получения передаточной функции от фильтра T-twin и операционного усилителя

СпросиСеть Политика конфиденциальности1y, 0v