Анализ схемы операционного усилителя (передаточной функции), не соответствующей базовым случаям

Вы можете определить передаточную функцию$H(s)$схемы рассуждая по следующей схеме:

и думать о$V_1$и$V_2$как два независимых входа. Поскольку схема является линейной, применяется наложение, и выход (в s-области) схемы, когда$V_2$выключен - это просто инвертирующий усилитель ($R_3$замыкает неинвертирующий вход на землю, предполагая идеальный операционный усилитель):

$V_{out1} = - \dfrac{R_2}{R_1} V_1$

Аналогично, когда$V_1$выключен, схема действует как неинвертирующий усилитель, вход которого фильтруется последовательностью$C-R_3$. Таким образом, применяя формулу усиления неинвертирующего усилителя и формулу делителя напряжения, вы получаете:

$V_{out2} = \left(1 + \dfrac{R_2}{R_1} \right)\dfrac{R_3}{R_3 + \frac{1}{C s}} V_2$

Полный ответ представляет собой сумму двух приведенных выше:

$V_{out} = V_{out1} + V_{out2} = - \dfrac{R_2}{R_1} V_1 + \left(1 + \dfrac{R_2}{R_1} \right)\dfrac{R_3}{R_3 + \frac{1}{C s}} V_2$

Ваша схема похожа на ту, которую я разместил, но с$V_1 = V_2$, поэтому полный ответ принимает вид:

$V_{out} = V_{in} \cdot \left[ - \dfrac{R_2}{R_1} + \left(1 + \dfrac{R_2}{R_1} \right)\dfrac{R_3}{R_3 + \frac{1}{C s}} \right]$

из которого вы получаете:

$H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = - \dfrac{R_2}{R_1} + \left(1 + \dfrac{R_2}{R_1} \right)\dfrac{R_3}{R_3 + \frac{1}{C s}}$

Это упрощает, после небольшой алгебры, до:

$H(s) = \dfrac{s - \frac{R_2}{R_1 R_3 C}}{s + \frac{1}{R_3 C}}$

Что показывает, что схема действует как активный фильтр с частотной характеристикой 1-го порядка.

Такая топология используется, например, для создания всепроходных фильтров , если$R_2 = R_1$.

РЕДАКТИРОВАТЬ

Вывод окончательной формы H(s) следующий:

$H(s) = - \dfrac{R_2}{R_1} + \left(1 + \dfrac{R_2}{R_1} \right)\dfrac{R_3}{R_3 + \frac{1}{C s}} = - \dfrac{R_2}{R_1} + \dfrac{R_1 + R_2}{R_1} \dfrac{R_3 C s}{R_3 C s + 1} =$

$= - \dfrac{R_2}{R_1} + \dfrac{(R_1 + R_2)R_3 C s}{R_1(R_3 C s + 1)} = \dfrac{-R_2(R_3 C s + 1) + (R_1 + R_2)R_3 C s}{R_1(R_3 C s + 1)}$

$= \dfrac{-R_2 R_3 C s - R_2 + R_1 R_3 C s + R_2 R_3 C s}{R_1(R_3 C s + 1)} = \dfrac{- R_2 + R_1 R_3 C s }{R_1(R_3 C s + 1)} = \dfrac{R_1 R_3 C s - R_2 }{R_1 R_3 C s + R_1}$

деление числителя и знаменателя на$R_1 R_3 C$мы получаем:

$H(s) = \dfrac{s - \frac{R_2}{R_1 R_3 C}}{s + \frac{R_1}{R_1 R_3 C}} = \dfrac{s - \frac{R_2}{R_1 R_3 C}}{s + \frac{1}{R_3 C}}$

Помните, что идеальные операционные усилители следуют двум основным правилам:

1. Ни на один из входов ток не поступает.

2. Отрицательная обратная связь заставляет напряжение на каждом входе быть равным.

Начнем с качественного подхода. Поскольку конденсатор один, мы можем разделить частотную характеристику этой схемы на три области: низкочастотная$(Z_C \gg R_3)$, среднечастотный$(Z_C \approx R_3)$, и высокочастотный$(Z_C \ll R_3)$.

При постоянном токе конденсатор действует как разомкнутая цепь, поэтому неинвертирующий вход подключается к земле. В этом случае отрицательная обратная связь представляет собой простой инвертирующий усилитель.

На высокой частоте конденсатор ведет себя как короткое замыкание, поэтому неинвертирующий вход подключается напрямую к$V_{in}$. Это труднее увидеть, но в этом случае отрицательная обратная связь дает вам повторитель напряжения.

На средней частоте частотная характеристика переходит от инвертирующего входа к повторителю напряжения. Мы ожидаем, что коэффициент усиления изменится от R2/R1 до 1, а фаза — от 180 до 0. Именно здесь мы должны вывести передаточную функцию, используя правила операционного усилителя.$V_+$довольно просто — C и R3 образуют фильтр нижних частот:

$$V_+ = V_{in}\frac{R_3}{R_3 + \frac{1}{sC}} = V_{in}\frac{1}{1 + \frac{1}{sR_3C}}$$

$V_-$немного сложнее, но в основном это то же самое, что и инвертирующий усилитель:

$$\frac{V_{in} - V_-}{R_1} = \frac{V_- - V_{out}}{R_2}$$ $$(R_1 + R_2)V_- = R_1V_{out} + R_2V_{in}$$

Теперь соединим наши два уравнения с:

$$V_+ = V_-$$

$$V_{in}\frac{1}{1 + \frac{1}{sR_3C}}(R_1 + R_2) = R_1V_{out} + R_2V_{in}$$

Отсюда, это просто вопрос алгебры. Вам решать, как вы хотите выразить результат, но один из способов, который легко понять, таков:

$$\frac{V_{out}}{V_{in}} = (DC\ gain) + (AC\ gain)*(frequency\ response)$$

(Обратите внимание, что форма Лоренцо, вероятно, более распространена при обработке сигналов, но мне нравится эта в образовательных целях.) Вот мой вывод:

$$V_{in}\frac{R_1 + R_2}{1 + \frac{1}{sR_3C}} = R_1V_{out} + R_2V_{in}$$

$$V_{out} = -\frac{R_2}{R_1}V_{in} + \frac{V_{in}}{R_1}\frac{R_1 + R_2}{1 + \frac{1}{sR_3C}}$$

$$V_{out} = -\frac{R_2}{R_1}V_{in} + V_{in}\frac{1 + \frac{R_2}{R_1}}{1 + \frac{1}{sR_3C}}$$

$$\frac{V_{out}}{V_{in}} = -\frac{R_2}{R_1} + (\frac{R_2}{R_1} + 1)\frac{1}{1 + \frac{1}{sR_3C}}$$

Когда s -> 0, усиление становится:

$$\frac{V_{out}}{V_{in}} = -\frac{R_2}{R_1} + (\frac{R_2}{R_1} + 1)*0 = -\frac{R_2}{R_1}$$

Когда s -> бесконечность, усиление становится:

$$\frac{V_{out}}{V_{in}} = -\frac{R_2}{R_1} + (\frac{R_2}{R_1} + 1)*1 = 1$$

Это то поведение, с которого мы ожидали начать, что является хорошим признаком того, что я правильно выполнил алгебру. :-) Вы также можете проверить с помощью Excel или другого инструмента то, что вы получаете в CircuitLab. Моделирование частотной характеристики в CircuitLab, вероятно, самый простой способ начать работу с незнакомой схемой фильтра.

Если мы посмотрим на это шаг за шагом, R1 и R2 образуют инвертирующий усилитель с усилением -R1/R2. Для неинвертирующего входа используется RC-фильтр верхних частот. В зависимости от того, как выглядит Vin (т. е. есть ли компоненты переменного и постоянного тока), результирующее значение Vout будет вычитать инвертирующий вход из компонента верхних частот.

По сути, это очень плохой дифференциальный усилитель верхних частот. Я бы удалил C и R3 и разбил его на каскад предварительного усиления в неинвертирующей конфигурации, чтобы не нагружать каскад усиления R1 и R2.

Вот самый простой способ найти передаточную функцию H(s):

Из теории обратной связи для идеальных операционных усилителей мы знаем, что

H(s)=-Hin/Hf

с функцией входа (Vout=0) Hin=R3/(R3+1/sC)-R2/(R1+R2)

и функция обратной связи (Vin=0) Hf=-R1/(R1+R2).

Отсюда соотношение (после нехитрых манипуляций)

H(s)=-Hin/Hf=(sCR1R3-R2)/(sCR1R3+R1).

При установке R1=R2 это передаточная функция для инвертирующего allpass (единичная амплитуда, фаза от 180° до 0°).