Будет ли замкнутая вселенная с темной энергией по-прежнему коллапсировать в большое сжатие или она будет расширяться вечно?

Вопрос о том, схлопнется ли закрытая Вселенная, зависит от корней уравнений Фридмана. Для$\Lambda$Модели CDM, это

$$\begin{align} \dot{a}^2 &= H_0^2\left(\Omega_{M,0}\,a^{-1} + \Omega_{K,0} + \Omega_{\Lambda,0}\, a^2\right),\tag{1}\\ \ddot{a} &= H_0^2\left(-\frac{1}{2}\Omega_{M,0}\,a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}\, a\right),\tag{2} \end{align}$$ где $\Omega_{M,0}$и $\Omega_{\Lambda,0}$— современные параметры материи и темной энергии, мы пренебрегаем (малым) вкладом излучения и $\Omega_{K,0} = 1 - \Omega_{M,0} - \Omega_{\Lambda,0}$. Мы можем переписать $(1)$как $$f(a) = \frac{a\dot{a}^2}{H_0^2} = \Omega_{M,0} + \Omega_{K,0}\, a + \Omega_{\Lambda,0}\, a^3,\tag{3}$$ вместе со своей производной в $a$ $$f'(a) = \Omega_{K,0} + 3\,\Omega_{\Lambda,0}\, a^2.\tag{4}$$ Рассмотрим следующий пример:

Этот график показывает$f(a)$на три модели с$\Omega_{M,0}=2.5$. Зеленая модель с$\Omega_{\Lambda,0} = 0.15$, расширяется навсегда. Синяя модель с$\Omega_{\Lambda,0} = 0.05$, имеет корень в$a_0 = 1.8015$. С$\ddot{a}<0$в этом корне,$\dot{a}$изменяется с положительного на отрицательное, поэтому эта модель рухнет. Красная модель является пограничным случаем: здесь оба$\dot{a}$и$\ddot{a}$равны нулю в одной и той же точке,$a_0 = 2.3490$, поэтому расширение временно приостанавливается, но затем продолжается. Чтобы найти эти граничные модели, нам нужно получить выражение для$\Omega_{\Lambda,0}$для заданного значения$\Omega_{M,0}$, такой, что

$$f(a_0) = f'(a_0) = 0,$$ где $a_0 > 1$. Вместо решения для $\Omega_{\Lambda,0}$напрямую, мы решим для $\Omega_{K,0}$первый. Подключив $$f'(a_0) = \Omega_{K,0} + 3\,\Omega_{\Lambda,0}\, a_0^2 = 0$$ в $f(a_0) = 0$, мы можем устранить $\Omega_{\Lambda,0}$и получить $$3\,\Omega_{M,0} + 2\,\Omega_{K,0}\,a_0 = 0.\tag{5}$$ Мы подключаем это обратно к $f'(a_0) = 0$устранить $a_0$:

$$4\,\Omega_{K,0}^3 + 12\,\Omega_{\Lambda,0}\,\Omega_{K,0}^2\, a_0^2 = 4\,\Omega_{K,0}^3 + 27(1 - \Omega_{K,0} - \Omega_{M,0})\,\Omega_{M,0}^2 = 0,$$ или $$\Omega_{K,0}^3 - \frac{27}{4}\,\Omega_{M,0}^2\,\Omega_{K,0} + \frac{27}{4}(1 - \Omega_{M,0})\,\Omega_{M,0}^2 = 0.$$ Это кубическое уравнение в $\Omega_{K,0}$формы Кардано $t^3 + pt + q = 0$. Три его корня

$$\Omega_{K,0}^{(k)} = -\frac{3}{2}\Omega_{M,0}^{2/3}\left[e^{4\pi ik/3} \left((1 - \Omega_{M,0}) + \sqrt{1 - 2\,\Omega_{M,0}}\right)^{1/3} +\right. \\ \left. e^{-4\pi ik/3} \left((1 - \Omega_{M,0}) - \sqrt{1 - 2\,\Omega_{M,0}}\right)^{1/3}\right],$$ с $k=0,1,2$. Если $\Omega_{M,0}\geqslant 1/2$, эти три корня действительны, и мы можем написать

$$(1 - \Omega_{M,0}) + \sqrt{1 - 2\,\Omega_{M,0}} = (1 - \Omega_{M,0}) + i\sqrt{2\,\Omega_{M,0}-1} = re^{i\theta},$$ с

$$\begin{align} r &= \sqrt{(1 - \Omega_{M,0})^2 + 2\,\Omega_{M,0}-1} = \Omega_{M,0},\\ \theta &= \arccos\left(\frac{1 - \Omega_{M,0}}{\Omega_{M,0}}\right), \end{align}$$ так что $$\Omega_{K,0}^{(k)} = -3\,\Omega_{M,0}\cos\left(\frac{\theta + 4\pi k}{3}\right).$$ Если $\Omega_{M,0}\geqslant 1$, $k=1$root определяет границу коллапса. Действительно, $\pi/2\leqslant\theta < \pi$, так что $-3/2\,\Omega_{M,0} < \Omega_{K,0}^{(1)} \leqslant 0,$и из $(5)$мы получаем $a_0 > 1$. Далее можно убедиться, что $k=2$корень нефизический( $a_0 < 0$), в то время $k=0$корень определяет границу моделей без Большого взрыва ( $a_0 < 1$).

Поэтому,

$$\begin{align} \Omega_{\Lambda,0}^{(\text{collapse})} &= 1 + \Omega_{M,0}\left[ 3\cos\left(\frac{\theta + 4\pi }{3}\right) - 1\right] = 4\,\Omega_{M,0}\cos^3\left(\frac{\theta + 4\pi}{3}\right), \end{align}$$ где мы использовали личность $3\cos x = 4\cos^3 x - \cos 3x$. На графике ниже показана эта граница между красной и желтой областями. Красная точка соответствует красной модели на первом графике. Обратите внимание, что $\Lambda$Модель CDM, соответствующая нашей Вселенной (черная точка), не разрушится.

Пространственно замкнутая Вселенная может расширяться вечно, если плотность энергии вакуума не равна нулю.

Да, вселенная без темной энергии будет расширяться с замедлением и коллапсировать до большого сжатия. Это все еще верно, если небольшое количество энергии вакуума, соответственно$\Omega_\Lambda$добавлен. Большого сжатия можно избежать, если параметр плотности$\Omega_\Lambda$превышает критическое значение. Это значение соответствует закрытой Вселенной, которая расширяется вечно. Формула для этого приведена в «Космологической физике» Пикока на стр. 82. Ответить на ваш вопрос относительно темной энергии не так строго, потому что ее природа неизвестна. До сих пор данные согласуются с предположением, что наблюдаемое ускоренное расширение Вселенной обусловлено космологической постоянной$\Lambda$.

Я полагаю, что вы, возможно, путаете кривизну пространственно-временного многообразия с пространственной кривизной, после того как вы продифференцируете их, вам также потребуется указать некоторые разумные начальные условия, чтобы сделать ваш вопрос немного более точным. В любом случае я постараюсь ответить на ваш вопрос как можно лучше.

Чтобы быть на той же странице, давайте предположим, что$\Lambda$CDM-модель космологии. Вы увидите в статье, что основой для него является FLRW-метрика , которая содержит переменную$k$который априори может принимать только три значения, в вашем случае для закрытой вселенной значение$k$соответствует$+1$. Теперь рассмотрим уравнение Фридмана, которое получается из уравнений поля Эйнштейна и метрики FLRW:

$$H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}{\rho} - \frac{kc^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}$$ Таким образом, чтобы точно ответить на ваш вопрос, нужно указать содержание вопроса, то есть указать $\rho$или, по крайней мере, его масштабирование с помощью $a$(масштабный фактор). Если бы это было так, как сейчас, то плотность материи масштабируется как $a^{-3}$, можно сказать, что в конце концов термин Темная энергия $\Lambda$будет доминировать в расширении. Однако вы можете спросить, можем ли мы достичь текущего состояния вселенной в рамках сценария закрытой вселенной, но для этого вам нужно будет указать содержимое для разных эпох. Единственный способ сокращения, как видно из уравнения, заключается в том, что доминирует средний член правой части, а это происходит только на очень специфических стадиях (небольшие $a$но не настолько мала, чтобы $\rho$термин преобладает).