Уравнение для значения Хаббла как функции времени

Общее решение работает следующим образом:

Начнем с уравнения Фридмана

$$\dot{a}^2 - \frac{8\pi G}{3}\rho a^2 = -kc^2,$$ с $k=0,\ 1,\ $или $-1$, и $\rho$общая плотность. Поскольку правая часть постоянна, мы можем написать $$\dot{a}^2 - \frac{8\pi G}{3}\rho a^2 = \dot{a}_0^2 - \frac{8\pi G}{3}\rho_0 a_0^2,$$ где нижний индекс 0 обозначает современные значения. Если ввести постоянную Хаббла $$H_0 = \frac{\dot{a}_0}{a_0}$$ и современная критическая плотность $$\rho_{c,0} = \frac{3H_0^2}{8\pi G},$$ мы получаем $$\frac{\dot{a}^2}{a_0^2} - H_0^2\frac{\rho}{\rho_{c,0}} \frac{a^2}{a_0^2} = H_0^2 - H_0^2\frac{\rho_0}{\rho_{c,0}}$$ или $$H^2 = \frac{\dot{a}^2}{a^2} = H_0^2\left[\frac{\rho}{\rho_{c,0}} + \frac{a_0^2}{a^2}\left(1 - \frac{\rho_0}{\rho_{c,0}}\right)\right].$$ Теперь есть три вклада в общую плотность: излучение, материя (нормальная и темная) и темная энергия: $$\rho = \rho_R + \rho_M + \rho_{\Lambda}.$$ Эти плотности меняются со временем следующим образом: плотность материи уменьшается по мере увеличения объема Вселенной, поэтому $\rho_M\sim a^{-3}$, как и следовало ожидать. Излучение падает, как $\rho_R\sim a^{-4}$(дополнительный фактор связан с красным смещением). А в Стандартной модели темная энергия остается постоянной: $\rho_{\Lambda} = \text{const}$. Другими словами, $$\begin{align} \rho_R a^4 &= \rho_{R,0}\, a_0^4,\\ \rho_M a^3 &= \rho_{M,0}\, a_0^3,\\ \rho_\Lambda &= \rho_{\Lambda,0}, \end{align}$$ и, наконец, с обозначениями $$\Omega_{R,0} = \frac{\rho_{R,0}}{\rho_{c,0}},\quad \Omega_{M,0} = \frac{\rho_{M,0}}{\rho_{c,0}},\quad \Omega_{\Lambda,0} = \frac{\rho_{\Lambda,0}}{\rho_{c,0}},\\ \Omega_{K,0} = 1 - \Omega_{R,0} - \Omega_{M,0} - \Omega_{\Lambda,0},$$ мы нашли $$H(a) = H_0\sqrt{\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} + \Omega_{K,0}\,a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}},$$ где мы использовали соглашение $a_0=1$. Также обратите внимание, что $$\dot{a} = H_0\sqrt{\Omega_{R,0}\,a^{-2} + \Omega_{M,0}\,a^{-1} + \Omega_{K,0} + \Omega_{\Lambda,0}\,a^2},\\ \ddot{a} = -\frac{1}{2}H_0^2\left(2\,\Omega_{R,0}\,a^{-3}+\Omega_{M,0}\,a^{-2} -2\,\Omega_{\Lambda,0}\,a\right).$$ Последние значения параметров, полученные из миссии Planck, $$H_0 = 67.3\;\text{km}\,\text{s}^{-1}\text{Mpc}^{-1},\\ \Omega_{R,0} = 9.24\times 10^{-5},\qquad\Omega_{M,0} = 0.315,\\ \Omega_{\Lambda,0} = 0.685,\qquad\Omega_{K,0} = 0.$$ Итак, теперь у нас есть параметр Хаббла как функция масштабного радиуса. $a$. Как мы можем преобразовать это в функцию времени? От $$\dot{a} = \frac{\text{d}a}{\text{d}t}$$ мы получаем $$\text{d}t = \frac{\text{d}a}{\dot{a}} = \frac{\text{d}a}{aH(a)} = \frac{a\,\text{d}a}{a^2H(a)},$$ так что $$\begin{align} t(a) &= \int_0^a \frac{a'\,\text{d}a'}{a'^2H(a')}\\ &= \frac{1}{H_0}\int_0^a \frac{a'\,\text{d}a'}{\sqrt{\Omega_{R,0} + \Omega_{M,0}\,a' + \Omega_{K,0}\,a'^2 + \Omega_{\Lambda,0}\,a'^4}}. \end{align}$$ Обращая это соотношение, получаем $a(t)$. К сожалению, эту инверсию приходится делать численно. И наконец, $$H(t) = H(a(t)).$$

---

PS Решение, которое вы упомянули, это случай, когда излучение и материя пренебрежимо малы, а темная энергия имеет более общий вид (называемый квинтэссенцией):

$$\rho_R=\rho_M=0,\quad \rho_\Lambda = \rho_{\Lambda,0}\,a^{-3(1+w)},$$ где $w=-1$соответствует нормальному случаю космологической постоянной. В этом случае для Вселенной без кривизны $$H^2 = H_0^2\,a^{-3(1+w)},\qquad t(a) = \frac{1}{H_0}\int_0^a a'^{(1+3w)/2}\,\text{d}a',$$ с раствором $a\sim t^{2/(3+3w)}$, для $w>-1$. Решения с $w\leqslant-1$не имеют большого взрыва, т.е. нижняя граница в интеграле $t(a)$не может быть нулевым.

В любом случае, это не совсем точное описание нашей Вселенной, поскольку они не учитывают вклад материи и излучения.