Частицы парамагнетизма со спином 1/2 — статистическая сумма

Question

Частицы парамагнетизма со спином 1/2 — статистическая сумма

векторize7891

Я пытаюсь придумать выражение для статистической суммы системы частиц идеального газа со спином 1/2 на линии длиной $L$ . Общее количество частиц $N$ фиксируется, с $N = N_\uparrow + N_\downarrow$ . Здесь, $N_\uparrow$ - число частиц со спином вверх и $N_\downarrow$ - количество частиц со спином вниз в конкретном микросостоянии.

У меня есть следующий гамильтониан для частиц массы $m$ .

ЧАС "=" \sum_{я "=" 1}^{Н} \frac{(п_{я} + β с_{я})^{2}}{2 м} - б с_{я}

$H = \sum_{i=1}^{N}{\frac{(p_i + \beta s_i)^2}{2m} -b s_i}$

Здесь, $s_i = 1$ для раскрутки $N_\uparrow$ частицы и $s_i = -1$ для раскрутки $N_\uparrow$ частицы. $\beta$ и $b$ являются константами.

Я пытаюсь использовать гамильтониан, чтобы записать энергию для частиц со спином вверх и вниз, чтобы я мог записать статистическую сумму. Если я расширим гамильтониан, я получу:

ЧАС "=" \sum_{я "=" 1}^{Н} \frac{п_{я}^{2}}{2 м} + \frac{п_{я} β с_{я}}{м} - б с_{я} + β^{2}

$H = \sum_{i=1}^{N}{\frac{p_i^2}{2m} + \frac{p_i \beta s_i}{m} - b s_i + \beta^2}$

Как мне найти из этого энергию двух наборов спиновых частиц и использовать ее для получения статистической суммы? Справедлива ли энергия частиц?

Е_{↑} "=" \frac{п_{я}^{2}}{2 м} + \frac{п_{я} β}{м} - б + β^{2}

$E_\uparrow = \frac{p_i^2}{2m} + \frac{p_i \beta}{m} - b + \beta^2$

Е_{↓} "=" \frac{п_{я}^{2}}{2 м} + \frac{- п_{я} β}{м} + б + β^{2}

$E_\downarrow = \frac{p_i^2}{2m} + \frac{-p_i \beta}{m} + b + \beta^2$

Как можно оценить это в канонической статистической сумме:

Z "=" \sum_{{мю}_{с}} е^{- β ЧАС}

$Z = \sum_{\mu_s}e^{-\beta H}$

где $\mu_s$ является суммированием по всем микросостояниям. Я не знаю, как это оценивать.

Оскар Давид Арбелаес

Вы пренебрегаете магнитным взаимодействием между частицами,

H = - \sum_{⟨ i, j ⟩} J_{i j} s_{i} s_{j}

$H=-\sum_{\langle i,j \rangle} J_{ij} s_{i} s_{j}$ ?

векторize7891

Нет, у меня нет этого члена в гамильтониане. Я просто пытаюсь классически трактовать орбитальное движение частиц.

Ответы (1)

Частицы парамагнетизма со спином 1/2 — статистическая сумма

Вы пренебрегаете магнитным взаимодействием между частицами, $H=-\sum_{\langle i,j \rangle} J_{ij} s_{i} s_{j}$ ?
Нет, у меня нет этого члена в гамильтониане. Я просто пытаюсь классически трактовать орбитальное движение частиц.

Нефенте · Answer 1

Прежде всего запишите явное выражение для суммирования по всем микросостояниям.

Редактировать Поскольку вы рассматриваете систему классически, это включает в себя интеграл по фазовому пространству и суммирование по всем возможным спиновым конфигурациям.

\sum_{{мю}_{с}} "=" \sum_{{с_{я}}} \int \frac{д^{Н} п д^{Н} д}{{час}^{3 Н} Н!}

$\sum_{\mu_s} = \sum_{\{s_i\}}\int\frac{d^Np d^Nq}{h^{3N}N!}$

Во-вторых, нужно понять, что ваш гамильтониан не взаимодействует, а каноническая плотность $e^{-\beta H}$ является просто произведением одночастичных гамильтонианов

е^{- β ЧАС} "=" \prod_{я "=" 1}^{Н} е^{- β {час}_{я}}

$e^{-\beta H} =\prod_{i=1}^Ne^{-\beta h_i}$ где конечно

{час}_{я} "=" \frac{(п_{я} + γ с_{я})^{2}}{2 м} - б с_{я}

$h_i = {\frac{(p_i + \gamma s_i)^2}{2m} -b s_i}$ (я переименовал

β

$\beta$ к

γ

$\gamma$ , потому что вы не имеете в виду обратную температуру. здесь)

Итак, вы должны оценить

\frac{1}{Н!} \sum_{{с_{я}}} \prod_{я "=" 1}^{Н} \int \frac{д п_{я} д д_{я}}{{час}^{3}} е^{- β {час}_{я}} "="

$\frac{1}{N!}\sum_{\{s_i\}}\prod_{i=1}^N\int\frac{dp_i dq_i}{h^{3}} e^{-\beta h_i} =$

Потому что $H$ Будучи невзаимодействующими, N-частичный интеграл по фазовому пространству разлагается на N интегрирований по фазовому пространству с 1 частицей. Точно так же можно поменять местами спин-суммирование и произведение (убедитесь сами, что это правда! Например, что в итоге получаются одни и те же члены, вне зависимости от того, суммируете ли вы сначала по спину или нет).

Это означает, что вместо суммирования всех микросостояний многих тел сначала суммируются возможные конфигурации одной частицы и учитывается тот факт, что впоследствии их будет много. Дополнительно все $h_i$ эквивалентны. Каждый из них просто имеет другой, но избыточный индекс:

Z "=" \frac{1}{Н!} \prod_{я "=" 1}^{Н} \sum_{с_{я} "=" \pm 1} \int \frac{д п_{я} д д_{я}}{{час}^{3}} е^{- β {час}_{я}} "=" \frac{1}{Н!} {(\sum_{с "=" \pm 1} \int \frac{д п д д}{{час}^{3}} е^{- β час})}^{Н}

$Z = \frac{1}{N!}\prod_{i=1}^N\sum_{s_i=\pm1}\int\frac{dp_i dq_i}{h^{3}} e^{-\beta h_i} = \frac{1}{N!}\left(\sum_{s=\pm1}\int\frac{dp dq}{h^{3}} e^{-\beta h}\right)^N$ где

h

$h$ является

h_{i}

$h_i$ но без индекса, потому что ссылка уже не на конкретную частицу.

/Редактировать

Вам придется подумать, что делать с интеграцией импульса. Я не рассчитывал результат, но, возможно, вы не получите решение в закрытом виде. Для суммирования импульсов может потребоваться приближение. Изменить. Я думаю, что интеграция по Гауссу поможет. /Edit Дайте нам знать, что у вас получилось!

@vectorize7891 Вы добились прогресса? Вам нужны дополнительные разъяснения?
Большое спасибо за то, что следите за этим! Я добился определенного прогресса. Разве вам не нужно также суммировать позиции? Единственный способ, которым я мог оценить это, - для больших $N$ . Еще одна проблема, которую я имел, заключается в том, что для больших $N$ , вы не обязательно знаете, что $N_\uparrow$ И $N_\downarrow$ оба будут большими, не так ли?
@vectorize7891 vectorize7891 Вы правы в отношении объемной интеграции. я обновил свой ответ. Я думаю, достаточно рассмотреть большие $N$ в какой-то момент, не ссылаясь на $N_\uparrow$ или $N_\downarrow$ . Были ли они включены во время вашего расчета? Хотя в пределе нулевого внешнего поля их математические ожидания будут $N/2$ , внешнее поле разлучит их.

Частицы парамагнетизма со спином 1/2 — статистическая сумма

векторize7891

Оскар Давид Арбелаес

векторize7891

Ответы (1)

Нефенте

Нефенте

векторize7891

Нефенте

Вероятность различных состояний — канонический ансамбль — статистическая сумма

Функция разделения для двухуровневой системы

Различимый, неразличимый парамагнитный идеальный газ [закрыто]

Возможна ли нулевая теплоемкость без нарушения третьего закона термодинамики?

Почему существует глобальный минимум для потенциала Морзе?

Аксиомы за энтропией!

В чем разница между состояниями материи и фазами материи?

Связанные состояния и длина рассеяния

Почему неаналитичность функции свободной энергии подразумевает фазовый переход? И какова его связь с другими свободными энергиями «более высокого уровня»?

Электроны проводимости в металлах — тепловое явление?