Функция разделения для двухуровневой системы

У меня есть система с Н с сайты и Н частицы, такие, что Н с >> Н >> 1 . Если в узле нет частицы, то с этим узлом связана нулевая энергия. Н частицы занимают Н с сайты и могут быть в энергиях Е 1 или Е 0 , где Е 1 > Е 0 . Мы также знаем м частицы имеют энергию Е 1 и Н − м есть частицы Е 0 .

Я пытаюсь придумать функцию разделения для этой системы.

Я обнаружил, что общая энергия до сих пор была Е "=" м Е 1 + ( Н − м ) Е 0 . Я знаю, что функция разделения Z "=" ∑ мю с е − β Е ( мю с ) , где мю с суммы по всем возможным микросостояниям.

Я пытаюсь использовать формулу:

( 1 + Икс ) н "=" ∑ к "=" 0 н ( н к ) Икс к

Может ли кто-нибудь показать мне, как это делается?

Я также понял, что есть Н ! м ! ( Н − м ) ! способы получения м , Е 1 государства и Н − м , Е 0 государства и Н с ! Н ! ( Н с − Н ) ! способы организации Н частицы в Н с места.

Правки (дополнительная работа):

Следуя совету nephente, вот что я получаю до сих пор:

Z "=" ∑ мю с е − β Е с "=" ( Н с Н ) ∑ м "=" 0 Н ( Н м ) ( е − β м Е 1 + е − β ( Н − м ) Е 0 ) "=" ( Н с Н ) ( е − β м Е 1 + е − β ( Н − м ) Е 0 ) Н

Я думал, что будет сумма двух экспонент, потому что частица может иметь энергию Е 1 или Е 0 . Вы говорите, что мы должны просто иметь:

Z "=" ∑ мю с е − β Е с "=" ( Н с Н ) ∑ м "=" 0 Н ( Н м ) е − β м Е 1 "=" ( Н с Н ) ( 1 + е − β м Е 1 ) Н

Что насчет энергии Е 0 ? Мне трудно понять, какой из них правильный, и я немного смущен, почему сумма больше м необходимо. я думал м был исправлен.

Вот, я думаю о ( Н с Н ) как вырождение для каждого микросостояния из-за расположения Н частицы в Н с места.

Редактировать 2:

nephente, ты хочешь сказать, что это правильная функция разбиения?

Z "=" ∑ мю с е − β Е с "=" ( Н с Н ) ∑ м "=" 0 Н ( Н м ) е − β Н Е 0 е − β м ( Е 1 − Е 0 ) "=" ( Н с Н ) е − β Н Е 0 ( 1 + е − β м ( Е 1 − Е 0 ) ) Н

Z "=" ( Н с Н ) ( е − β Е 0 + е β ( м − 1 ) Е 0 е − β м Е 1 ) Н

Кроме того, не могли бы вы объяснить, почему нам нужно суммировать м еще немного?

Совет LaTeX: \ggи \llдайте ≫ и ≪ соответственно.

Ответы (1)

Количество частиц с энергией Е 1 является 0 ≤ м ≤ Н . Есть ( Н С Н ) возможные способы оформления Н частицы на Н С места. Есть ( Н м ) способы выбрать м снаружи Н частицы занимают верхний уровень Е 1 . Другой Н − м автоматически должны занимать низкоэнергетическое состояние Е 0 , так что никакой дополнительной комбинаторики не требуется.

Этого должно быть достаточно, чтобы вы явно записали функцию разбиения. (Подсказка: сумма превышает м ) Если вы все еще не можете добиться прогресса, я опубликую более подробный ответ, но я рекомендую вам сначала попробовать его самостоятельно.

Изменить. Как вы правильно сказали в своем первоначальном вопросе, энергия микросостояния с м частицы, занимающие энергию Е 1 является

Е "=" м Е 1 + ( Н − м ) Е 0 "=" м ( Е 1 − Е 0 ) + Н Е 0 ≡ м Δ Е + Н Е 0
Тогда больцмановский фактор такого микросостояния равен
е − β Е "=" е − β ( м ( Е 1 − Е 0 ) + Н Е 0 )
Вы могли заметить, что только один член в показателе степени содержит м ! Другой - константа.

Биномиальные факторы, объясняющие вырождение в вашем решении, верны. /Редактировать

Редактировать 2 Если я не ошибаюсь, ваше второе обновление выглядит правильно! Теперь, почему сумма более м ? В соответствии с принципами статистической механики каноническая статистическая сумма получается путем суммирования всех возможных конфигураций с учетом коэффициента Больцмана для соответствующей энергии. Вы также можете думать об этом как о суммировании всех энергий и взвешивании с дополнительным коэффициентом, чтобы принять во внимание вырождение энергетических состояний.

Z "=" ∑ мю с е − β Е с "=" ∑ Е г Е е − β Е
Коэффициент г Е также называется плотностью состояний (DoS) именно по той причине, что она говорит вам, сколько микросостояний соответствует энергии Е .

В вашей задаче энергия обозначена м , так как это единственная переменная, от которой он зависит. Таким образом ∑ Е → ∑ м а биномы считают вырождение или, что более причудливо, DoS. /Редактировать 2

Функция разделения для двухуровневой системы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v