Вероятность различных состояний — канонический ансамбль — статистическая сумма

Скажем, один из них находится после статистической суммы N тел классической системы .

$$Z_N \propto \int d\Omega_N e^{-\beta H}$$ Интеграл находится по фазовому пространству N тел и $H$является полным гамильтонианом. Если система не взаимодействует, $H$это сумма $N$одночастичные гамильтонианы $$H = H_1+H_2+\cdots+H_N$$ каждый из которых зависит только от координат и импульса одной частицы.

Затем интеграл фазового пространства разлагается на одночастичные интегралы.

$$Z_N \propto \left(\int d\Omega_1 e^{-\beta H_1}\right)\left(\int d\Omega_2 e^{-\beta H_2}\right)\cdots\left(\int d\Omega_N e^{-\beta H_N}\right) = \prod_i Z(i)$$ который является просто продуктом функций доли одной частицы. Если все гамильтонианы одинаковы, например $H_i=p_i^2/2m$, все функции распределения sp совпадают, и у вас действительно есть $$Z_N \propto Z_1^N$$ Теперь я пишу пропорционально, потому что, как вы заметили, есть коэффициент $1/N!$отсутствующий. Это происходит, когда вы имеете дело с неразличимыми частицами. Если не учитывать этот фактор, энтропия становится, например, неаддитивной, и вы, по сути, сталкиваетесь с парадоксом Гибба .

Обратите внимание, что понятие неразличимости по своей сути является квантовым ! В классическом случае такого нельзя было бы ожидать, тем не менее это квантовое свойство преобладает в классическом пределе.

Что касается первой части вашего вопроса: вы говорите о вероятности того, что «частица» раскрутится. Я не уверен, что это разумный вопрос в контексте многих тел. Вы имеете в виду вероятность найти ровно одну частицу в верхнем состоянии? Если да, то подумайте об энергии такого состояния и используйте определение$P_i$ты дал.

Письмо :$Z = \sum\limits_{\{N_{\lambda_i}\}}e^{-\beta \sum\limits_{\lambda_i} N_{\lambda_i}\epsilon_{\lambda_i}}$, у нас есть :

$\langle N_{\lambda_j}\rangle = \dfrac{1}{Z}\sum\limits_{\{N_{\lambda_i}\}}N_{\lambda_j}e^{-\beta \sum\limits_{\lambda_i} N_{\lambda_i}\epsilon_{\lambda_i}} = \dfrac{1}{Z} \dfrac{-1}{\beta} \dfrac{\partial}{\partial \epsilon_{\lambda_j}} Z = \dfrac{-1}{\beta} \dfrac{\partial \ln Z}{\partial \epsilon_{\lambda_j}}$

В случае, когда$Z = z^N$или$Z = \dfrac {z^N}{N!}$, мы получаем :$\ln Z = N \ln z + A$, где$A$является константой, не зависящей от$\epsilon_{\lambda_j}$. Итак, мы могли бы написать:

$\langle N_{\lambda_j}\rangle = \dfrac{-N}{\beta} \dfrac{\partial \ln z}{\partial \epsilon_{\lambda_j}}$

В вашем случае у нас есть$z = e^{-\beta \epsilon_+} + e^{-\beta \epsilon_-}$, поэтому очень легко получить$N_+$и$N_-$из приведенного выше соотношения:

$\langle N_\pm \rangle = N \dfrac{e^{-\beta \epsilon_\pm}}{e^{-\beta \epsilon_+} + e^{-\beta \epsilon_-}}$

«Идеальный газ» означает независимые частицы. Когда частицы независимы, вы можете изучать одну частицу и знать, что в среднем делают все остальные частицы.

Математически,$N$-статистическая функция$Q_N$и одночастичная статистическая сумма$Q_1$связаны в этом случае как

$$Q_N = \frac{Q_1^N}{N!}$$

Факторизация$Q_N$в продукт из$Q_1$означает, что вы можете изучить систему, взглянув на$Q_N$или в$Q_1$. Когда частицы взаимодействуют (неидеальный газ), невозможно написать простое соотношение между$Q_N$и$Q_1$.