Частные производные против полных производных в термодинамике

Прежде всего: вы и участники вашего курса наверняка не единственные студенты, сталкивающиеся с этой проблемой. На 2-м и 3-м курсах у меня такое было. Причина в том, что физики используют оскорбительные обозначения . И делают это много. У математиков меньше проблем с этими вещами. В этом ответе я постараюсь использовать интуитивные термины и в то же время быть точным.

Сначала комментарий к пространствам параметров . Важно четко понимать, с какой из них вы имеете дело, чтобы увидеть разницу между частной и полной производной. Например, вы, вероятно, будете работать с системами, которые имеют (p, V, T, N) (обычное обозначение). Или для простоты возьмем постоянное число частиц N и составим какое-нибудь уравнение состояния (например, идеальный газ). Тогда состояние вашей системы полностью определяется (p, V). Но через уравнение состояния они связаны с T, так что вы также можете выразить это через (T, V) или (p, T).

Теперь мы готовы к производным. Частная производная — это производная по определенному заданному направлению в пространстве параметров . Например, в вашем случае это направление является линией z=constant. Обратите внимание, что направление должно быть полностью определено, поэтому, когда ваше пространство параметров является n-мерным, вы должны указать n-1 переменных (т.е. одну свободную переменную, которая является параметром в этом направлении). Первое выражение для теплоемкости, приведенное выше, точно такое, если z=const. определяет направление (т.е. работает в двумерном (P,V) пространстве параметров, которое мы имели в качестве примера). Еще одна вещь, которую нам нужно будет сравнить с полной производной: частная производная по определенному направлению является функцией положения в пространстве параметров. Т.е. в нашем примере:$C_z = f(p,V)$

Тогда какова полная производная ? На самом деле это совершенно другой объект, поскольку он не является функцией только положения в пространстве параметров. Вместо этого это также зависит от направления, в котором вы дифференцируетесь. Так что лучше думать об этом как о расширении (опять же на примере теплоемкости):

$dQ = \left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)_{V=const} dp + \left( \frac{\partial Q}{\partial V} \right)_{p=const} dV$

Поэтому, чтобы найти dC, вам нужно указать, насколько вы двигаетесь в направлении dp и dV. Так что это на самом деле довольно сложный объект. Чем это полезно? Можно найти отношения между различными полными производными. Например, деление на dp выше дает:

$\frac{dQ}{dp} = \left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)_{V=const} + \left( \frac{\partial Q}{\partial V} \right)_{p=const} \frac{dV}{dp}$

Это связывает производную$\frac{dQ}{dp}$к$\frac{dV}{dp}$. Итак, если вы знаете последнее (что означает, что вы знаете направление), вы можете вычислить первое. Затем можно также прочитать различные отношения частных производных, например, установив$\frac{dV}{dp} = \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_{q=const}$(обратите внимание, что это не совсем верное выражение, это скорее выбор направления q=const.) дает выражение для$\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)_{q=const}$

Теперь я объяснил принципы. Будет полезно просмотреть все ваши определения и посмотреть, какое из них есть какое. Вы, вероятно, обнаружите, что большинство явных определений на самом деле являются частными производными, а полные используются только для связи друг с другом. В приведенном выше примере полная производная даже не имеет смысла.

Я проконсультировался с википедией , я нашел следующее определение

$$df=\frac{\partial f}{\partial x_{1}}dx_{1}+...+\frac{\partial f}{\partial x_{n}}dx_{n}$$ пишется после «В одномерном случае это становится» $$df=\frac{ df}{dx}dx$$ и это неправда, написано: $$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx$$ опуская индекс (1).

и я проконсультировался с несколькими математическими книгами (*), дифференциал определяется

$$df=f'dx$$

поэтому мы можем написать:

$$\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}=f'$$

когда освоишь инструмент.

(*)-Курс высшей математики I том, В.Смирнов.

-Дифференциальное и интегральное исчисление том I, Н.Пискунов.

-Математический анализ том I, Г.Чилов.

-Математический анализ, А.Картачев, Б.Рождественский