В чем математический смысл следующего выражения C=δQdTC=δQdTC=\frac{\delta Q}{dT}?

И) Использование$\delta$в производной

$$C~=~\frac{\delta Q}{dT}$$

потому что в термодинамике тепло$Q$не является государственной функцией . В частности, дифференциал$\delta Q$является точным .

II) В частности, теплоемкость $C$не получается дифференцированием какой-либо обычной функции относительно. температура$T$. Скорее, его следует рассматривать как отношение

$$C~=~\frac{Q}{\Delta T}$$

где$\Delta T$достаточно мало (как видно из всех физически важных целей).

Вы можете взять выражение$C=\frac{\delta Q}{\mathrm dT}$как бесконечно малая версия

$$C=\frac{Q}{\Delta T}$$ или формальная переработка $$\delta Q=C\mathrm dT$$ что, однако, не имеет смысла на языке дифференциальных форм, как деление по форме $\mathrm dT$не определен.

Давайте разберемся со значением$\delta Q=C\mathrm dT$принимая дифференциальные формы:

По второму закону термодинамики,$\delta Q = T\mathrm dS$. $\delta$не имеет особого значения, это просто напоминание о том, что мы имеем дело с дифференциальной формой, а не с функцией (мы не можем написать$\mathrm dQ$здесь как форма не точная, т.е. не дифференциал какой-либо функции состояния$Q$).

Термодинамические системы, как правило, по крайней мере двумерны и позволяют выбирать различные координаты, поэтому предположим,$S$представлен функцией температуры и другой переменной, например$S=S(V,T)$или$S=S(P,T)$.

Определение теплоемкости сверху предполагает, что$S$является функцией$T$в одиночку, так как правая часть не содержит слагаемых с$\mathrm dV$или$\mathrm dP$. В общем случае нам необходимо дополнительное ограничение на разрешенные процессы, например$V=\mathrm{const}$или$P=\mathrm{const}$, который дает$C_V$или$C_P$соответственно.

При этом предположении имеем

$$\mathrm dS = \frac{\partial S}{\partial T} \mathrm dT$$ то есть $$C\mathrm dT = \delta Q = T\frac{\partial S}{\partial T} \mathrm dT$$ и наконец $$C = T\frac{\partial S}{\partial T}$$

Еще одно замечание для более склонных к математике:

Геометрически ограничения$V=\mathrm{const}$или$P=\mathrm{const}$определить одномерное подмногообразие, где обратный образ$\delta Q$через естественное вложение будет (локально) точным. Фактически, этот обратный образ необходимо включить, чтобы приведенные выше уравнения соответствовали обозначениям, используемым в дифференциальной геометрии:

Позволять$\nu$быть нашим вложением с$\mathrm d\tau = \nu^*\mathrm dT$невырожденный. есть функция$C_\nu$и в качестве$\nu^*\delta Q$закрыт) другая функция$Q_\nu$(точнее, семейство локально определенных функций) с

$$\nu^*\delta Q = C_\nu \mathrm d\tau = \mathrm dQ_\nu$$ то есть $$C_\nu = \frac{\partial Q_\nu}{\partial\tau}$$ В случае $V=\mathrm{const}$, $Q_\nu$это откат внутренней энергии $U$, тогда как в случае $P=\mathrm{const}$, $Q_\nu$это откат энтальпии $H$.

В обозначениях физиков это читается

$$C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V \\ C_P = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P$$

Вы видите, как было сказано$Q$не является характеристикой системы (не функцией состояния). Это зависит от процесса. Самый простой способ реализовать понятие процесса состоит в том, чтобы рассматривать$Q$как функция времени. Таким образом, вы могли просматривать$C$как:

$$C(t) = \frac{dQ/dt}{dT/dt}$$

В случае обратимого процесса без обмена веществом с окружающей средой:

$$\frac{dQ}{dt} = T \frac{dS}{dt}$$

Рассмотрим одноатомный идеальный газ и процесс с постоянным объемом и скоростью, которые позволяют нам использовать соотношения равновесия и предположить обратимость:

$$C_V = \frac{T \; dS/dt}{dT/dt} = \frac{dU/dt}{dT/dt} = \frac{\frac{3}{2} R NT \; dT/dt}{dT/dt} = \frac{3}{2} R NT$$

Подводя итог, вы всегда можете просмотреть$dQ$как полный дифференциал, но вовремя, обрабатывая$Q$как функция времени. Я научился этому трюку из книги «Современная термодинамика: от тепловых двигателей к диссипативным структурам» Кондепуди и Пригожина.

Заметьте, с математической точки зрения это совершенно строго — просто частное двух производных, никаких дифференциальных форм или каких-то скользких рассуждений с бесконечно малыми.

Теплоемкость может изменяться с$T$делая это неточным дифференциалом. То же самое относится и к другим уравнениям термодинамики. Теплоемкость, на которую вы здесь ссылаетесь, конечно, также зависит от давления и объема, и именно это приводит к следующим определениям теплоемкости при постоянном давлении.$C_{p}$и постоянный объем$C_{v}$.

$C_{p} = (\frac{\partial Q}{\partial T})_{p}$

и

$C_{v} = (\frac{\partial Q}{\partial T})_{v}$

Я бы интерпретировал ваше исходное уравнение просто как

$Q = C\,\Delta T$

То есть$Q$это количество теплоты, требуемое веществу с теплоемкостью$C$, чтобы изменить температуру вещества на$\Delta T$.

Надеюсь, это поможет.

Расширение для комментариев к адресу:

Конечно, в этом контексте имеет смысл иметь частную производную. Возьмем случай постоянного объема; когда к веществу (например, к жидкости) при постоянном объеме добавляется тепло, работа не совершается, поэтому добавленное тепло равно увеличению внутренней энергии жидкости. Письмо$Q_{v}$для тепла, добавленного при постоянном объеме (как в приведенных выше уравнениях), мы имеем

$Q_{v} = C_{v} \Delta T$

наука$W = 0$(работа), мы можем написать

$Q_{v} = \Delta U + W = \Delta U$.

Таким образом,

$\Delta U = C_{v} \Delta T$.

Принимая предел как$\Delta T$приближается к нулю, мы находим

$\mathrm{d} U = C_{v} \mathrm{d}T$

Большинство данных ответов уже описывают, как достичь математического определения, и я могу только добавить более феноменологический подход.

Экспериментально удельная теплоемкость определяется как коэффициент вклада тепловой энергии в повышение температуры адиабатической системы (при постоянном давлении или объеме).

$$C = \frac{\Delta Q}{\Delta T},$$ и мы также знаем из экспериментов, что $C = C(T)$. Таким образом, чтобы не усреднять по большому интервалу, мы должны максимально уменьшить тепловую энергию и измерить отклик, увеличение температуры: $$C(T) = \lim\limits_{\Delta Q\rightarrow 0} \frac{\Delta Q}{\Delta T}$$ Если бы существовала уникальная функция $Q(T,C)$мы запишем это как производную $$C(T) = \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{Q(T, C)-Q(T+h, C)}{h} =\frac{dQ}{dT},$$ но оказывается, что имеет значение, как тепловая энергия вводится в систему. Это означает, что не существует единственной функции $$Q = \int dQ,$$ поэтому мы возвращаемся к неточному дифференциалу , обозначаемому $\delta Q$, а удельную теплоемкость определим как $$C(T) =\frac{\delta Q}{dT}$$