Чем быстрее вы двигаетесь, требуется ли все больше и больше энергии для увеличения скорости с той же скоростью?

Да, верно, вы также можете различать обе стороны

относительно времени и размещения$\frac{dE}{dt} = P$, питание подается, вы получаете

так что для данной мощности$\frac{dv}{dt}$обратно пропорциональна$v$

Алгебра верна, но интерпретация может не соответствовать вашим намерениям. В вашем описании есть противоречие между "отсутствием внешних сил" (сохраняющийся импульс) и изменением скорости от$v_0$к$v_1$(несохраняющийся импульс).

Вы имеете в виду «ракету», которая «добавляет немного энергии$E$к системе, сжигая некоторое количество топлива». Ракету сложнее анализировать, чем то, что вы показываете, потому что «система» (на которой нет внешних сил) — это ракета плюс ее топливо. Система не движется как твердое тело и не может быть описано одной массой и скоростью, поэтому ваше уравнение неприменимо . Энергия$E$высвобождаемое при горении - это чистое увеличение кинетической энергии ракеты плюс топливо, но это может быть распределено между ними по-разному .

Более простое применение вашего подхода на самом деле было бы, когда транспортное средство подвергается воздействию внешних сил, но объект, с которым обменивается импульсом, настолько массивен, что изменение его энергии незначительно — скажем, Земля. Возьмем идеализированное колесное наземное транспортное средство, имеющее только статическое трение (шины сцепляются с дорогой), без сопротивления качению или лобового сопротивления, с идеально эффективными двигателем и трансмиссией. Тогда ваша формула применима напрямую: кинетическая энергия транспортного средства увеличивается на энергию$E$сожженного топлива.

Вы правы в том, что добавление кинетической энергии с постоянной скоростью будет приводить к все меньшему и меньшему увеличению скорости по мере увеличения скорости.$v \propto \sqrt{\text{KE}}$. Однако сжигание топлива увеличивает импульс , а не кинетическую энергию, с постоянной скоростью, потому что топливо выбрасывается в противоположном направлении с постоянной скоростью истечения по отношению к ракете.

Если предположить, что масса ракеты и остатка топлива остаются примерно постоянными, то и скорость будет увеличиваться примерно с постоянной скоростью. Однако, если учесть уменьшение массы ракеты, скорость увеличивается все быстрее и быстрее. В любом случае это приводит к тому, что ракета набирает кинетическую энергию все быстрее и быстрее, поскольку кинетическая энергия квадратична по скорости.

Мы можем переписать ваш анализ немного по-другому:

Энергия$E$вам нужно идти от скорости$v$разгоняться, набирать скорость$v+\Delta v$является

который мы можем расширить как

так что, как вы упомянули, энергия, которую вам нужно перейти от$v$к$v+\Delta v$зависит от начального значения$v$через срок$\propto 2v\,\Delta v$.

Если ваш энергетический вклад$E$постоянно, конечно, со временем вы получите уменьшающееся значение$\Delta v$.

Если потом сжигать энергию при постоянной мощности$P$так что вы производите свою полную энергию$E$через время$\Delta t$затем

это уравнение, связывающее все члены вместе: при постоянной мощности потребуется больше времени, чтобы достичь заданного$\Delta v$при более высоких начальных скоростях и т.д.

Заметим также, что в пределе$\Delta t\rightarrow 0$и поэтому$\Delta v \rightarrow 0$вы получите тот же результат из ответа Джона Хантера, т.е.

Мы также можем решить это, получив, что ваша скорость во времени при постоянной мощности определяется выражением

Остальные ответы правильные (+1 к каждому). Но это может помочь вашей интуиции, если учесть изменения полной энергии и импульса ракеты + выхлопных газов.

Предположим, в вашем любимом кадре неподвижно сидит ракета. Он ненадолго запускает свой двигатель, выпуская импульс выхлопа назад и продвигаясь вперед. Выхлоп имеет$m_1$и$v_1$, оставив ракету с$m_2$и$v_2$.

так

или, просто используя величины,

Также

Теперь предположим, что ракета приобрела скорость v, и повторите опыт. Предположим, что ракета все еще имеет массу$m_2$. Поскольку мы знаем направления, мы будем использовать только величины.

Снова

Для энергии,

Да, изменение энергии — это работа, которая равна силе, умноженной на расстояние. Изменение скорости пропорционально изменению количества движения, изменение количества движения — это импульс, а импульс — это произведение силы на время. Если сила постоянна и мы рассматриваем фиксированное количество времени, то с увеличением скорости импульс остается постоянным, но расстояние, пройденное за это время, увеличивается, так как увеличивается и работа. Это также означает, что если мы возьмем предел как$t$стремится к нулю изменение энергии за время, оно стремится к нулю; в тот момент, когда вы начинаете ускоряться, мощность равна нулю.

Поскольку никто еще не упомянул об этом, возможно, стоит рассмотреть уравнение Циолковского .
Масса пропеллера является решающим фактором в увеличении скорости ракеты, это ключ к запасу дельта-v, используемому в космических путешествиях.

Если учесть принцип работы ракетного двигателя, т. е. выбрасывание реактивной массы с постоянной скоростью и скоростью, ваше уравнение (которое предполагает постоянную массу) больше не выполняется. Это может быть причиной того, что ваш результат кажется нелогичным: двигатели космических кораблей не работают таким образом (за исключением, может быть, «Звездных войн», где X-Wing, в котором едва ли может быть место для более чем нескольких тонн топлива, может достичь орбиту - и прыжок в гиперпространство в придачу - с такой смехотворно малой суммой :) ).

Ракета — это не неизменный объект, к которому добавляется постоянная энергия, а объект с постоянно уменьшающейся массой, к которому приложен постоянный импульс. Крошечная полезная нагрузка, установленная на огромном топливном баке и двигателях, только увеличивает собственный вес.

Что касается энергии, то в конечном итоге вы потребляете огромное количество химической энергии для ускорения топлива, которое вы в конечном итоге сбросите в космос, чтобы восстановить лишь часть этой энергии.

В данный момент, если M - масса оставшегося топлива, энергия 1/2 МВ², которую вы потратили на его ускорение, была чистой потерей. Все, на что вы можете надеяться, это восстановить немного энергии, когда вы начнете ее сжигать.

Идеальный ракетный двигатель мог бы адаптировать свою скорость выброса, чтобы «сбрасывать» реакционную массу сразу за пределами реактора с нулевой кинетической энергией в системе отсчета, привязанной к стартовой площадке (т. 100% энергии ракете и 0% выхлопным газам.

Увы, все, что мы можем изготовить, это двигатели постоянного импульса , поэтому при выбросе определенного количества реактивной массы часть кинетической энергии уходит в поток выхлопных газов, и ракета не возвращает 100% энергии, выделяемой двигателем.
Пример с космическим челноком, приведенный в вики, весьма показателен. Даже с учетом стоимости потенциальной энергии, подавляющее большинство энергии орбитального аппарата приходится на увеличение скорости (0,2 ТДж против 3 ТДж: в 15 раз больше кинетической энергии, чем потенциальной). Даже с учетом сопротивления воздуха и потенциальной энергии, необходимой для подъема всего шаттла и оставшегося топлива, не менее 3/4 энергии тратится на ускорение самого топлива.

Это правда, что для поддержания постоянного ускорения, которое увеличивает ее скорость по отношению к системе покоя, ракете необходимо расходовать все большее количество энергии по отношению к этой системе покоя. Об этом нам говорит закон сохранения энергии.

Верно также и то, что типичная ракета (в космосе, при условии отсутствия внешних сил) ускоряется с постоянной скоростью.

Верно также и то, что типичная ракета использует химическую энергию примерно с постоянной скоростью.

Но это кажется невозможным! Ракета ускоряется с постоянной скоростью, и для этого она должна также увеличивать скорость, с которой она использует энергию, но она использует химическую энергию с постоянной скоростью. Как мы можем примирить эти три факта?

Первая часть головоломки заключается в том, что у ракеты закончатся топливо и реактивная масса до того, как она начнет нарушать закон сохранения энергии. Скорость, с которой он набирает кинетическую энергию по отношению к системе покоя, никогда не может быть больше, чем скорость, с которой он использует энергию по отношению к системе покоя, и до этого времени у него должно закончиться топливо.

Следующая часть головоломки заключается в том, что когда ракета летит медленно, она очень неэффективно использует свою химическую энергию. Мы знаем, что это должно быть так, потому что скорость увеличения кинетической энергии пропорционально медленнее на низких скоростях, в то время как скорость использования химической энергии ракеты такая же. Таким образом, изначально он вырабатывает больше энергии, чем ему «необходимо» для увеличения своей кинетической энергии. Ракета изначально работает хорошо на своей мощности, и по мере ее ускорения она начинает использовать мощность все более и более эффективно для увеличения своей КЭ, вплоть до того момента, когда у нее заканчивается топливо.

Представим себе ракету с полезной нагрузкой 100 кг и реактивной массой 900 кг. Он начинает стационарно в пространстве без каких-либо внешних сил, действующих на него. Он постоянно отбрасывает 1 кг/с реакционной массы назад со скоростью 1000 м/с относительно себя. Это означает, что реактивная масса оказывает на ракету постоянную силу F = 1000 кг м/с^2, или 1000 Н. Это также означает, что мощность, создаваемая ракетой в корпусе ракеты, составляет 1/2 * 1 кг/с * (1000 м/с)^2 = 500 кВт.

Скорость ракеты во времени$T$является$v(T) = \int_0^T a(t) dt = \int_0^T 1000 / m(t) dt = \int_0^T 1000 / (1000 - t) dt = 1000 (-\ln |1000 - T| + \ln |1000|)$

Скорость истечения (в исходной стационарной системе отсчета),$v_e(T)$, всегда$v(T) - 1000$РС.

Энергия ракеты в момент времени T равна$1/2 m(T) v(T)^2$.

Полная энергия выхлопа в момент времени T получается путем интегрирования энергии каждой части выхлопа. Это$\int_0^T 1/2 v_e(t)^2 dt = 1/2 \int_0^T (1000 (-\ln |1000 - t| + \ln |1000|) - 1000)^2 dt$.

Полная выходная мощность получается как скорость увеличения кинетической энергии ракеты + выхлоп. Мы уже знали, что это должно быть 500 кВт, и это действительно так.

Эффективная выходная мощность - это скорость увеличения кинетической энергии ракеты. Сначала она небольшая, так как большая часть кинетической энергии уходит в выхлоп, затем увеличивается до максимума, когда ракета движется со скоростью 1000 м/с (поскольку в этот момент никакая энергия не уходит в выхлоп, потому что выхлоп неподвижен в начальном кадре), а затем снова уменьшается по мере дальнейшего ускорения ракеты. На самом деле в конце он становится отрицательным, потому что ракета теряет массу «быстрее», чем ускоряется.