Чем «пресловутый абзац» Витгенштейна о теореме Гёделя не является очевидно правильным?

Тимм Ламперт цитирует «пресловутый абзац» Витгенштейна (§8 Замечаний об основаниях математики, Приложение 3) в http://wab.uib.no/agora/tools/alws/collection-6-issue-1-article- 6.аннотировать

Я представляю, как кто-то спрашивает моего совета; он говорит: «Я сконструировал предложение (для его обозначения я буду использовать «Р») в символизме Рассела, и с помощью определенных определений и преобразований его можно интерпретировать так, что оно говорит: «Р недоказуемо в системе Рассела». Не должен ли я сказать, что это положение, с одной стороны, истинно, а с другой стороны, недоказуемо? Предположим, что это было ложно; тогда верно, что это доказуемо. А этого точно не может быть! А если доказано, то доказано, что недоказуемо. Таким образом, это может быть только истинным, но недоказуемым».

Точно так же, как мы спрашиваем: «Доказуемо» в какой системе?», мы также должны спрашивать: «Истинно» в какой системе?» «Истинно в системе Рассела» означает, как было сказано: доказано в системе Рассела; а «ложно в системе Рассела» означает: в системе Рассела доказано обратное. – Что теперь означает ваше «предположим, что это ложь»? В смысле Рассела это означает «предположим, что в системе Рассела доказано обратное»; если это ваше предположение, вы, по-видимому, откажетесь от интерпретации, что это недоказуемо. И под «этой интерпретацией» я понимаю перевод в это английское предложение. – Если вы предполагаете, что предложение доказуемо в системе Рассела, это означает, что оно истинно в смысле Рассела, и от интерпретации «P недоказуемо» снова придется отказаться.[…]

Когда мы исследуем эти вещи, используя подход математического формалиста:

https://en.wikipedia.org/wiki/Formalism_(philosophy_of_mathematics)
В философии математики формализм — это точка зрения, согласно которой утверждения математики и логики могут рассматриваться как утверждения о последствиях манипулирования строками (буквенно-цифровыми последовательности символов, обычно в виде уравнений) с использованием установленных правил манипулирования.

Когда аналитическая истина в языке определяется как тавтология между конечными строками, тогда:
(1) Нет никакого способа, которым истина могла бы отличаться от доказуемости.
(2) Истина всегда поддается определению.
(3) Пробелы неполноты не могут существовать.

Tractatus Logico-Philosophicus Людвига Витгенштейна (1921),
кажется, придерживается такого же взгляда на тавтологию.

Вот как моя точка зрения объединяется с точкой зрения Витгенштейна:
аналитическая истина, выраженная в языке, — это просто конечные строки, которые были определены как имеющие семантическое свойство булевой истины (аксиомы) и реляционные связи с этими конечными строками (теоремы). Любое выражение языка, которое не определено как обладающее семантическим свойством булевой истинности (аксиома) или имеющее реляционную связь с этими конечными строками (теорема), обязательно неверно.

Следующее можно понять с точки зрения математического формалиста [тавтологических] отношений между конечными строками:

Формализация выделенных слов Витгенштейна:
P ↔ (RS ⊬ P)
∀x (Истина(RS, x) ↔ (RS ⊢ x))
∀x (Ложь(RS, x) ↔ (RS ⊢ ¬x))

Примеры отношений доказуемости:
(PA ⊢ "2 + 3 = 5") // Отношение доказуемости существует ---------- AKA True
(PA ⊬ "2 + 3 = 7") // Отношение недоказуемости существует- ----- AKA ¬True
(PA ⊢ ¬"2 + 3 = 7") // Отношение опровержимости существует------- AKA False

В рамках предикатов истинности, полученных из спецификации Витгенштейна, если недоказуемость не доказана в системе Рассела, то недоказуемость не считается истинной в системе Рассела.

Эта точка зрения (основанная на Витгенштейне) кажется неопровержимой.
Только утверждения, находящиеся в рамках доказуемости в системе Рассела, получают значения истинности из системы Рассела. Истинность утверждений Теории только относительно этой Теории. Формализация (спецификация Витгенштейна) P по отношению к RS показывает, что P внутренне противоречиво по отношению к RS, поэтому не истинно в RS, даже если оно истинно в другом месте.

Это два разных вопроса:
(1) Истинно ли P в RS? --- НЕТ.
В RS нельзя доказать, что P нельзя доказать в RS, потому что P внутренне противоречиво в RS, поэтому плохо сформировано в RS и, следовательно, неверно в RS. РС.

(2) Является ли P истинным вне RS? --- ДА
Можно доказать вне RS, что P нельзя доказать в RS.

Когда два приведенных выше вопроса объединяются в один вопрос [Истинно ли P?], действительно кажется, что неполнота Гёделя и неопределимость Тарского доказаны. Когда этот единственный вопрос разделяется так, что он относится к формальной системе, выводы Гёделя и Тарского перестают быть устойчивыми.

Действительная истина в мире — это просто отношения, которые были определены между конечными цепочками. Отношение [является] было определено между «кошкой» и «животным». Вы можете нагромождать слои посторонней сложности поверх этого, чтобы запутать проблему, но самоочевидный трюизм остается: концептуальная истина в языке — это просто определенные отношения между конечными строками. Доказуемость есть не что иное, как определение того, существует ли одно из этих определенных отношений.

Этот аспект будет продолжен в новом вопросе:
являются ли истина и доказуемость по своей сути неразделимыми, поскольку любое средство установления концептуальной истины может быть истолковано как формальное доказательство?

Ключевой вопрос не в математической ошибке Таркси или Гёделя. Если Истина и доказуемость действительно неразделимы, то Таркси и Гёдель ошибаются.

Витгенштейн доказывает, что G Гёделя просто внутренне противоречива, когда Истина и доказуемость неразделимы. Когда истина и доказуемость взаимно определяют друг друга, тогда Неопределимость Тарского перестает существовать.

Фактическое опровержение Таркси и Гёделя требует доказательства того, что Истина и доказуемость должны быть доказаны по своей сути неразделимыми и не могут быть последовательно определены иначе.

Также из цитируемого текста: «На самом деле Гёдель отверг аргументацию Витгенштейна, обвинив его в том, что он спутал свою аргументацию с «своего рода логическим парадоксом»»
Если оставить в стороне этот запутанный беспорядок, не является ли единственным реальным вопросом, действительно ли истина определяется как доказуемая в системе Рассела? Если нет, ответ тривиален: «Нет, не очевидно, что он прав, и, возможно, он не прав».
@PhilipKlöcking Настоящая истина в мире - это просто отношения, которые были определены между конечными строками. Отношение <is a> было определено между «кошкой» и «животным». Вы можете нагромождать слои посторонней сложности поверх этого, чтобы запутать проблему, но самоочевидный трюизм остается: концептуальная истина в языке — это просто определенные отношения между конечными строками. Доказуемость есть не что иное, как определение того, существует ли одно из этих определенных отношений. Действительная истина в том виде, в каком она есть на самом деле, превосходит чьи-либо неправильные представления о ней.
@PhilipKlöcking Может быть, пришло время заблокировать этот пост? Правки продолжают поднимать его наверх.
@Eliran То есть, другими словами, мне не разрешено быть полностью услышанным? Меня могут уволить только на скорую руку?
Рекомендую откатить на предыдущую версию. Тогда рассмотрите новый вопрос. Чтобы откатить это, нажмите ссылку «отредактировано», а затем ссылку отката на предыдущую версию.
@FrankHubeny Хорошо, это звучит разумно.
@Eliran FrankHubeny Предоставил взаимоприемлемую альтернативу.

Ответы (3)

Тимм Ламперт, цитируемый ОП, цитирует Витгенштейна (§8 Замечаний об основах математики, Приложение 3):

«Истинно в системе Рассела» означает, как было сказано: доказано в системе Рассела; а «ложно в системе Рассела» означает: в системе Рассела доказано обратное.

Ламперт утверждает, что Витгенштейн предполагает то, что нужно доказать:

Верны ли P = ΠP и ¬P = Π¬P, это как раз то, что находится под вопросом, и философский результат доказательства Гёделя состоит в том, чтобы доказать, что эти предположения ошибочны.

Похоже, это так.

В кратком изложении доказательства Гёделя Эрнеста Нагеля и Джеймса Р. Ньюмана Гёдель смог установить истинность неразрешимого утверждения G без использования системы доказательств, но с помощью нумерации метаматематических аргументов Гёделя: (стр. 93)

В-третьих, мы помним, что метаматематические утверждения были отображены на арифметические формулы. (Действительно, установление такого соответствия является raison d'etre отображения; как, например, в аналитической геометрии, где благодаря этому процессу истинные геометрические утверждения всегда соответствуют истинным алгебраическим утверждениям.) Отсюда следует, что формула G, соответствующая истинному метаматематическому утверждению, должна быть истинной. Следует отметить, однако, что мы установили арифметическую истину не путем формального вывода ее из аксиом арифметики, а посредством метаматематического аргумента.

ОП спрашивает, почему Витгенштейн не совсем прав.

Один из способов понять, почему Витгенштейн не является очевидно правильным, состоит в том, чтобы увидеть, что Гёдель с помощью своей гёделевой нумерации установил способ определения истины без вывода с использованием правил вывода системы доказательств. Витгенштейн предположил, что он должен использовать вывод. Это похоже на использование таблицы истинности в логике высказываний для установления истины, а не на доказательство с использованием правил вывода.

В отличие от логики высказываний, Гёдель обнаружил, что непротиворечивая арифметическая система не может быть полной. Существуют истинные арифметические утверждения, которые нельзя вывести, используя непротиворечивые аксиомы системы доказательств.

Нагель, Эрнест и Джеймс Р. Ньюман. Доказательство Гёделя. Издательство Нью-Йоркского университета, 1986.

Ламперт, Т. «Печально известный абзац Витгенштейна о теореме Гёделя». Получено 1 июня 2019 г. с http://wab.uib.no/agora/tools/alws/collection-6-issue-1-article-6. комментировать

«Витгенштейн предполагал, что он должен использовать вывод». На самом деле Витгенштейн определил, что требуется вывод. Он не предполагал, что оговорил. Ключевой вопрос, по-видимому, состоит в том, как правильно определить аналитическую истину? Тарский ответил: «Этого не может быть», однако спецификация Витгенштейна кажется последовательной. Он просто отвергает ранее неразрешимые предложения как неверные.
@PL_OLCOTT Главный вопрос заключается в том, выходит ли правда за рамки доказуемости. В некоторых системах, таких как арифметика, это так. В пропозициональной логике это не так. Витгенштейн также не допускал существования натуральных чисел как конкретного класса в своей логике, в отличие от Рассела и Фреге. Числа для него определялись формально как показатели степени. Логика Витгенштейна без арифметики может быть достаточно простой, так что истина не выходит за пределы доказуемости. Но это не так в арифметике Рассела.
Истина должна оцениваться относительно формальной системы, а не вне ее. liarparadox.org/Haskell_Curry_45.pdf Мы не можем сказать, что учебник по алгебре неполный, потому что в нем ничего не говорится о физике. По отношению к системе Рассела приведенное выше выражение недоказуемо, потому что оно противоречиво, поэтому мы не можем использовать его как основу для решения о том, что система Рассела неполна. Тот факт, что логическое предложение нельзя ни доказуемо, ни опровергнуть в рамках системы Рассела, доказывает, что оно внутренне противоречиво, а значит, неправильно сформировано по отношению к системе Рассела.
@PL_OLCOTT В логике высказываний есть средство для присвоения значений истинности без доказуемости с использованием таблиц истинности. Таблицы истинности не входят в правила вывода, связанные с доказуемостью. То, что набор истинных предложений совпадает с набором доказуемых предложений, является следствием аргументов в пользу обоснованности и полноты логики высказываний. Система Рассела более сложна и включает в себя арифметику. Эта арифметика использовалась, чтобы найти способ определить истину независимо от системы доказательств. То, что они дают одинаковые результаты, — это то, что показал Гедель, не соответствует действительности.
«Таблицы истинности находятся вне правил вывода, связанных с доказуемостью». Только те вещи, которые находятся в пределах доказуемости в Системе Рассела, получают значения истинности утверждений Системы Рассела, потому что Истинность утверждений Теории зависит только от этой Теории: (последнее выделенное предложение) liarparadox.org/Haskell_Curry_45.pdf Формализация P по отношению к RS показывает, что P внутренне противоречиво по отношению к RS, поэтому неверно в RS, даже если оно истинно в другом месте.
Поскольку истина на самом деле представляет собой отношения между конечными строками, а доказуемость на самом деле является подтверждением того, что эти отношения существуют, истина не может расходиться с доказуемостью, потому что истина по своей сути имеет доказуемость как одну из своих составных частей.
@PL_OLCOTT Но другие могут рассматривать доказательство иначе, чем отношения между конечными строками. Нужно сначала узнать, что такое истина. Я действительно думаю, что Витгенштейн думал нечто подобное тому, что вы предлагаете, поэтому он не согласился с результатами Кантора, но что такое истина, необходимо уточнить. Могут быть разные ответы в зависимости от того, как определяется истина.
Этот ответ показывает, что мы, наконец, добились очень хорошего прогресса в нашем диалоге. Похоже, у нас может быть только один шаг, прежде чем мы достигнем полного закрытия. (после 22 лет) Как только будет понято, что истина есть то, что она есть (таким образом, каждое отличающееся мнение вытесняется и отменяется), а истина в языке действительно есть не что иное, как определение отношений между конечными строками, тогда мы могли бы быть в состоянии однозначно определить какая из двух взаимоисключающих позиций Витгенштейна и Гёделя верна, а какая просто неверна.
@PL_OLCOTT Вы можете задавать вопросы о том, что такое истина, но я рекомендую сначала посмотреть en.wikipedia.org/wiki/Truth и plato.stanford.edu/entries/truth и iep.utm.edu/truth . Задайте вопрос на основе одного из этих трех источников, чтобы ответ был связан с ним.
Правильный ответ выходит за рамки существующего общепринятого мнения. Фактический вопрос должен быть чем-то вроде того, какие контрпримеры могут быть предоставлены, которые показывают, что сущность концептуальной истины, выраженной в (формальном или естественном) языке, представляет собой что-то помимо отношений между конечными строками?
есть ли термин для «P = ΠP и ¬P = Π¬P», чтобы я мог погуглить причину / причины Витгенштейна, предполагающие, что Гедель должен их использовать? Могло ли быть так, что он, Витгенштейн, думал, что Гёдель должен их использовать, и что всё, что может показать Гедель (их недействительность) с их помощью, может означать только их неправильное использование ?
@another_name Эти символы предполагают, что если P истинно, то можно доказать, что (Π) P истинно, то есть вывод также существует. И если P ложно или ¬P истинно, то можно доказать ¬P. Основываясь на ссылке Ламперта, это можно найти в «Замечаниях Людвига Витгенштейна об основаниях математики» . Меня озадачивают возражения Витгенштейна против Геделя. Можно подойти к этому с помощью релевантности или паранепротиворечивой логики, но я не думаю, что так рассуждал Витгенштейн.
Отсюда ясно, что Истина и Доказуемость не могут расходиться: ВСЯ концептуальная истина — это просто отношения между языковыми выражениями, которые оговорены как истинные, и те же самые оговорки делают эти языковые выражения доказуемыми.

Ранняя проза Витгенштейна была общеизвестно неясной и трудной для понимания. Таким образом, называть это «очевидно» чем-либо кажется очень ошибочным.

Возможно, поэтому он отказался от своей прежней философии, назвав ее вовсе не философией и совершенно неправильной.

Его более поздняя философия гораздо более человечна в том смысле, что она связана с человеческими ценностями.

Я добавил следующее уточнение: ВСЯ концептуальная истина — это просто отношения между языковыми выражениями, которые оговорены как истинные, и те же самые оговорки делают эти языковые выражения доказуемыми.

Философия стремится к логическому прояснению мыслей. Философия – это не доктрина, а деятельность

Если Гёдель показывает, что «P = ΠP и ¬P = Π¬P» недействительны, то любое использование его идей, которые также используют «P = ΠP и ¬P = Π¬P», является, если мы говорим о философии, несомненно, неправильное использование «P = ΠP и ¬P = Π¬P».

Любая деятельность, которая злоупотребляет логикой (или языком), несомненно, порождает бессмыслицу, которая ничего не говорит, что бы она ни показывала.

«То, что можно показать, нельзя сказать», т. е. то, что нельзя сформулировать в выразимых (чувственных) положениях, можно только показать... Даже невыразимые (метафизические, этические, эстетические) положения философии принадлежат к этой группе, которую Витгенштейн наконец описывает как «вещи, которые нельзя выразить словами. Они проявляют себя. Они и есть мистическое » (TLP 6.522).

здесь добавлено ударение.

не беспокойтесь, если вы проголосуете против, я удалю на -2!
Я не голосую против, поэтому, если вы получите какие-то голоса против, они не от меня. Я думаю, что подход к тому, что говорит Витгенштейн, с точки зрения «мистического» или с точки зрения молчания в конце «Трактата», может быть плодотворным. Однако я не знаю, происходит ли это здесь.
@FrankHubeny Поскольку я независимо получил дословные результаты к «печально известному абзацу» Витгенштейна задолго до того, как услышал о Витгенштейне, я знаю, что этот абзац полностью завершен и стоит сам по себе. Этот абзац полностью содержится в: «1. Введение» по вышеуказанной ссылке.
@PL_OLCOTT Что сделал Гедель, так это показал, что логицизм Рассела и формализм Гильберта в том виде, в каком они их представляли, были ложными. Я думаю, что Витгенштейн должен был приветствовать эти результаты, а не сопротивляться Геделю. Это должно побудить человека следовать интуиционистской логике, логике релевантности или паранепротиворечивой логике, а не классической логике в Principia Mathematica. Вместо того, чтобы пытаться показать, что Гёдель ошибался, возможно, стоит показать, что одна или несколько из этих других логик лучше классической логики.
@FrankHubeny Мне придется показать это в другом посте, но Гёдель и Тарский определенно ошибались в том, что True и Proved взаимно определяют друг друга, что делает их по своей сути и, следовательно, обязательно неразделимыми. Концептуальная Истина представляет собой взаимосвязанную цепь семантических выводов, которые всегда можно представить в виде доказуемых таким образом отношений между конечными строками. Недоказуемое всегда неверно.
допускает ли Гёдель «P = ΠP и ¬P = Π¬P» (когда показывает, что они недействительны)? @ФранкХьюбени
@another_name Гедель так не считает. Он показывает, что они не работают при ограничениях Гильберта для классической логики первого порядка, содержащей арифметику, такой как Principia Mathematica Рассела и Уайтхеда. Книга Нагеля и Ньюмана — хорошее введение: archive.org/details/gdelsproof00nage .
так он не "использует" его? извините, но если это так, то я должен просто удалить ответ... @FrankHubeny
@another_name Я не знаю, удалять его или нет. Мистическое же есть то, что может быть только показано, а не выражено языком. Это не чепуха. Тавтология, то есть предложение, которое только истинно, было бы «бессмысленным», потому что оно не может быть ложным. Нет нужды проверять чувственный опыт. Это всегда так. Следовательно, оно не основано на чувственном опыте. См. Anscombe, An Introduction to Wittgenstein's Tractatus .
я еще раз проверю и отредактирую, спасибо @FrankHubeny
Чем «пресловутый абзац» Витгенштейна о теореме Гёделя не является очевидно правильным?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v