Получение "(pq) v (pr) от "p.(qvr)"?

Во-первых, мы должны распаковать посылку p ∧ (q ∨ r) , используя исключение конъюнкции , чтобы получить два конъюнкта: p и (q ∨ r) .

Затем мы должны использовать доказательство по случаям (т.е. исключение дизъюнкции ), чтобы вывести p ∧ q введением конъюнкции , за которым следует (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) введением дизъюнкции в первом случае, и p ∧ r введением конъюнкции введение с последующим (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) введением дизъюнкции во втором случае.

Получив (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) из обоих дизъюнктов (q ∨ r) , мы можем заключить, что это следует из посылки, т. е. что:

(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) является логическим следствием p ∧ ( q ∨ r) .

Вот доказательство, сделанное Fitch:

Средство проверки и редактор доказательства естественной дедукции в стиле Fitch, которое я использую для этого ответа, связано с книгой forall x: Calgary Remix .

Вот вопрос:

первая попытка:

1 ......1. р.(q V г)

1 ......2. q V r ... .....................(1) CE

1 ......3. р ......................................(1) СЕ

1......4. ?

I need two "p" for the conclusion, how can I introduce another "p" and keep it in the conclusion?

The solution below is similar to what Bram28 provided in lines 2-11:

To get past line 3, we need to eliminate the disjunction, the ∨ symbol. This is an "or" statement. Either Q is true or R is true. So to eliminate the "or" we need to consider two cases. I drew thin blue boxes around the two cases, one for Q and one for R.

Regarding the question about needing two "p" for the conclusion, the extra "p" is added in lines 6 for the Q case and in line 9 for the R case.

Note how this was done in the Q case.

In line 4 I started a sub-proof by assuming Q. I need no justification for that assumption.

In line 5 I used the fact that in line 2 I already have P and in line 4 I have Q as an assumption. Since I have both of them I can introduce a conjunction, that is, an "and" statement. Now I have P ∧ Q, part of the conclusion I want.

After that I can introduce a disjunction, that is, an "or" statement to the P ∧ Q. What will I add? I can add anything I want. I already know this statement is true because one of the cases, P ∧ Q, is true. So I introduce the ∨ with precisely what I need to get the result I want: P ∧ R.

Я позаботился о двух случаях, построив вспомогательное доказательство для каждого, и в каждом случае я пришел к желаемому выводу. Доказательство будет полным, как только я это заявлю. В строке 10 я привожу вывод из обоих поддоказательств. Обоснованием этого является устранение дизъюнкции, с которой я начал в строке 3, используя дополнительные доказательства в строках 4-6 и 7-9.

Средство проверки подтверждает решение.

Мы можем пойти и в другом направлении. Bram28 делает это в строках 12-23 этого доказательства. Последняя строка этого доказательства вводит бикондиционал, ссылаясь в качестве обоснования введения на два поддоказательства в строках 2–11 и 12–23.