Чему равна энергия взаимодействия точечного заряда с бесконечным цилиндром?

Я мало что помню из своего курса электромагнетизма и не могу найти простого и полного примера на эту тему.

Я знаю, что цилиндр можно рассматривать как провод с такой же плотностью заряда (находясь вне цилиндра), поэтому я рассматриваю корпус провода с такой же плотностью заряда,$\lambda$.

я установил$y$направление прохождения провода и$x$направление прохождения через точечный заряд и перпендикулярно проволоке. Все в$z=0$самолет. Следовательно, частица находится в$x=r$позиция.

Из закона Гаусса я узнаю, что поле в точке на расстоянии$r$от провода у меня есть поле, которое масштабируется как$\lambda/r$. Чтобы найти потенциал , нужно решить интеграл

$V = -\int_b^r E dl = - k \int_b^r \lambda/x dx$

Где$k$содержит константы и$b$точка, в которой потенциал равен 0.

Решение этого интеграла есть

$V = - k \lambda \log (1/r) + C$

Когда$b=1$потенциал равен 0, поэтому потенциал равен

$V = k \lambda \log (1/r)$

и энергия

$U = k q \lambda \log (1/r)$

Вот мои вопросы:

1. Что-нибудь из этого правда?

2. Я попытался вывести это, начав с закона Кулона и рассчитав энергию для сегмента провода, я получил ответ, который масштабируется как$1/r$, вы можете получить ответ для этого?