Кинетическая энергия двух заряженных шаров на бесконечном расстоянии между ними

Question

Кинетическая энергия двух заряженных шаров на бесконечном расстоянии между ними

www

Если у меня есть два шара с массами и зарядами $m_1, q_1^{+}$ , $m_2, q_2^{+}$ , изначально держался на расстоянии $d$ , а потом отпустили, как мне узнать кинетическую энергию каждого из шаров на бесконечном расстоянии между ними? Я совершенно застрял на этом, потому что они оба имеют одинаковую потенциальную энергию в начале, и она уменьшается по одной и той же схеме, как если бы один из шаров был неподвижен. Так что это не только падает, как $1/R$ , потому что в то же время другой шар, который вызывает эту потенциальную энергию, также отталкивается. Итак, как я могу действительно узнать энергии? Я попытался применить закон сохранения энергии, потому что знаю, что на бесконечном расстоянии друг от друга они будут иметь нулевую потенциальную энергию, таким образом, все начальное перешло в кинетическую форму, однако я застрял с начальной потенциальной энергией (они у обоих есть, так что я должен поставить $2U_p$ ?), и даже в этом случае я не могу найти их кинетическую энергию отдельно, не имея другого уравнения.

Лагербер

Может быть, поможет сохранение импульса? Кроме того, на самом деле не имеет значения, «как» они достигают бесконечности, потому что энергия не зависит от этой истории.

www

@Lagerbaer - я думал об этом. Однако количественный вопрос в моей книге приводит к выводу, что даже уравнение сохранения энергии, которое я написал, неверно (

2 U_{p} = E_{k, 1} + E_{k, 2}

$2U_p=E_{k,1}+E_{k,2}$ ). Вот почему я хочу знать, что мне здесь не хватает. Как мне относиться к потенциальной энергии всей системы?

Ответы (2)

Кинетическая энергия двух заряженных шаров на бесконечном расстоянии между ними

Может быть, поможет сохранение импульса? Кроме того, на самом деле не имеет значения, «как» они достигают бесконечности, потому что энергия не зависит от этой истории.
@Lagerbaer - я думал об этом. Однако количественный вопрос в моей книге приводит к выводу, что даже уравнение сохранения энергии, которое я написал, неверно ( $2U_p=E_{k,1}+E_{k,2}$ ). Вот почему я хочу знать, что мне здесь не хватает. Как мне относиться к потенциальной энергии всей системы?

пользователь10851 · Answer 1

Потенциальная энергия есть свойство системы , а не какого-то одного объекта. Таким образом, должна быть только одна копия типичного $1/r$ потенциальная энергия между двумя зарядами (плюс аналогичный гравитационный член, если этим нельзя пренебречь).

Самый простой способ увидеть это — начать с «бесконечного» разделения. Вместо того, чтобы сталкивать два заряда вместе, держите один неподвижно и перемещайте другой к нему. Движущийся заряд должен бороться со стандартной кулоновской силой (с небольшой помощью силы тяжести), чтобы приблизиться к стационарному, поэтому полученная здесь потенциальная энергия есть как раз интеграл этой силы по пройденному расстоянию ( $d$ к $\infty$ ).

А как же стационарный объект? Ну, конечно, нам нужно приложить к нему силу, чтобы он не оттолкнулся от приближающегося заряда. Но он не движется, поэтому изменение $\vec{F} \cdot \vec{x}$ энергия исчезает.

Тот факт, что в какой-то момент в будущем мы позволим обоим объектам двигаться, не меняет потенциальную энергию, поэтому вы должны получить ту же потенциальную энергию, как если бы задача была поставлена:

Точечная масса $m_1$ с зарядом $q_1$ фиксируется в начале координат. Другая точечная масса $m_2$ с зарядом $q_2$ приносится из бесконечности. Чему равна потенциальная энергия системы?

Также полезно помнить, что « $2\infty = \infty$ ." Перемещение объектов из $x = -\infty$ и $x = \infty$ до начала координат покрывает то же расстояние, что и перемещение одного объекта из $x = \infty$ к происхождению.

Это может быть только я, но я не думаю, что ваше последнее предложение о перемещении объектов в бесконечность и из бесконечности и так далее имеет смысл. Бесконечность не число, поэтому на два умножить нельзя. Просто мысль.
@Greg Действительно, вы не можете, отсюда и кавычки. Это просто сокращение для $\lim_{x\to\infty} f(2x) = \lim_{x\to\infty} f(x)$ . То есть мы не упускаем ни одного множителя два, рассматривая один стационарный + один «уходящий в бесконечность» объект, а не два объекта «уходящих в бесконечность в противоположных направлениях». Потенциальная энергия не имеет значения.

фибонатический · Answer 2

Я предлагаю вам использовать это уравнение:

Вт "=" \int_{С} Ф д Икс,

$W=\int_C{Fdx},$ где

F

$F$ сила, действующая на объект и

W

$W$ работу, совершаемую этой силой.

В этом случае на два объекта действуют два типа сил: гравитация и кулоновская сила:

Ф_{р е с ты л т} "=" \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{д_{1} д_{2}}{р^{2}} - г \frac{м_{1} м_{2}}{р^{2}} "=" (\frac{д_{1} д_{2}}{4 π ϵ_{0}} - г м_{1} м_{2}) \frac{1}{р^{2}},

$F_{result}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}-G\frac{m_1m_2}{r^2}=\left(\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}-Gm_1m_2\right)\frac{1}{r^2},$ с

r

$r$ расстояние между двумя объектами. Так:

{Вт}_{т о т а л} "=" (\frac{д_{1} д_{2}}{4 π ϵ_{0}} - г м_{1} м_{2}) \int_{д}^{\infty} \frac{1}{р^{2}} д р "=" (\frac{д_{1} д_{2}}{4 π ϵ_{0}} - г м_{1} м_{2}) \frac{1}{д}

$W_{total}=\left(\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}-Gm_1m_2\right)\int^\infty_{d}{\frac{1}{r^2}dr}=\left(\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}-Gm_1m_2\right)\frac{1}{d}$

Изменить: это не совсем правильно, так как я предполагаю, что это симметричная ситуация, поэтому $m_1=m_2$ и поэтому $W_1=W_2=\frac{W_{total}}{2}$ . Это повлияет на соотношение расстояния до начала координат двух объектов и, следовательно, на объем работы, выполненной над каждым объектом.

Прежде всего, спасибо за ответ. Это интегрирование просто приводит к формуле потенциальной энергии (кстати, мы пренебрегаем гравитацией). Мой вопрос был немного другим. Я спросил, какова начальная потенциальная энергия системы и как я могу сформулировать законы сохранения применительно к этой проблеме.
Вы можете выбрать начальную потенциальную энергию (выбрать, на каком расстоянии ваша потенциальная энергия равна нулю). В подобных ситуациях обычно выбирают положение, при котором потенциальная энергия равна нулю на бесконечности.

Кинетическая энергия двух заряженных шаров на бесконечном расстоянии между ними

www

Лагербер

www

Ответы (2)

пользователь10851

Грег

пользователь10851

фибонатический

www

фибонатический

Электрическая потенциальная энергия заряженного проводника

Чему равна энергия взаимодействия точечного заряда с бесконечным цилиндром?

Почему угол наклона не влияет на то, насколько высоко запущенный объект будет скользить по пандусу без трения?

Изменение потенциальной электрической энергии после того, как сфера разделится на две части.

Увеличение энергии с помощью конденсатора?

Потенциальная энергия и закон сохранения

Почему для расчета потенциальной гравитационной энергии требуется половина общей длины в случае падающей цепи?

Знак ошибки при расчете формулы потенциальной электростатической энергии! [дубликат]

Электрическая энергия от дипольного момента

Теорема работы-энергии