Черн-Саймонс и фреймовая зависимость...

В своей полиномиальной статье Джонса Виттен ввел два типа оснащения:$3$-многообразное обрамление и узловое обрамление. Первый связан с гомотопическими классами тривиализации касательного расслоения$3$-многообразие, второе связано с гомотопическими классами тривиализации нормального расслоения на узел. Он объясняет второй пункт здесь (в нижней части страницы 71).

Виттен отмечает аналогию между этими двумя фреймами в сноске на странице 364 в статье Виттена-Джонса.

Основная причина, по которой ему пришлось ввести обрамляющие зависимости, состоит в том, что он стремился получить топологические инварианты; когда он этого не сделал, он обнаружил, что может торговать метрической зависимостью, обрамляя$3$зависимость от оснащения -многообразия в первом случае и зависимость диффеоморфизма узла от оснащения узла во втором случае.

Для первого случая, когда он вычислял статистическую сумму в квазиклассическом приближении интегрирования по путям вокруг фонового калибровочного поля, он получил выражение, зависящее от$\eta$инвариант, который появляется всякий раз, когда статистическая сумма оператора первого порядка (подобного Дираку) (поскольку флуктуационный член линеен по производным). $\eta$инвариант зависит от метрики, и Виттен избавился от этой метрической зависимости с помощью следующего трюка, сначала он написал:

$$\eta(A) = \eta_{\mathrm{grav}} + (\eta(A) -\eta_{\mathrm{grav}} )$$ Второй член метрически инвариантен, где$\eta_{\mathrm{grav}}$гравитационный$\eta$инвариант, вычисленный из спиновой связи$\omega$. Затем он вручную добавил гравитационную формулу Черна-Саймонса.$I(\omega)$чтобы получить предварительный фактор: $$\eta_{\mathrm{grav}} + \frac{1}{12\pi} I(\omega)$$ Вышеупомянутый предварительный фактор не зависит от метрики, но зависит от кадрирования.

В случае узла корреляционная функция зависит от числа перекрестных связей узлов, которые являются благоприятными, но также и от чисел самосвязывания, которые являются неоднозначными. Существуют схемы регуляризации с конечными результатами, но они не являются инвариантами диффеоморфизмов. Здесь Виттен регуляризировал интеграл самозацепления, выбрав слегка смещенный узел. Смещенный узел не уникален; результат зависит от класса гомотопической тривиализации нормального расслоения узла. Результат инвариантен к диффеоморфизму, но зависит от оснащения узла.

Теперь о вашем вопросе о физическом значении зависимости от тривиализаций. Тривиализация расслоения определяется его функциями перехода между картами. Эти функции перехода не уникальны; это коциклы Чеха, которые можно модифицировать, добавляя кограницы; это просто калибровочные преобразования. Я привел примеры для этих объектов в этом
ответе . Их калибровочное свойство предполагает, что мы должны рассматривать их как фоновые калибровочные поля (они не интегрируются в интеграл по путям). Таким образом, разные тривиализации эквивалентны разным фонам. Квантовая механика говорит нам, что они соответствуют неэквивалентным квантованиям, и мы знаем, что эти неэквивалентные квантования обязательно проявятся, как в случае эффекта Ааронова-Бома.