Я изучаю топологическую квантовую теорию поля с точки зрения математики (аксиоматический трактат). Так что у него нет объяснения с точки зрения физики. Я хотел бы знать физическую основу TQFT. Но когда я был студентом, я посещал только несколько основных курсов физики.
Какие области физики связаны с TQFT? (Я слышал, что КТП и конформная теория поля тесно связаны. Но я не знаю, как именно.) Если у меня есть высшее математическое образование, можно ли напрямую изучать эти связанные предметы? Или мне следует начать сначала с фундаментальной физики, например, с квантовой механики или теории относительности?
Если вы можете предложить какую-либо ссылку на TQFT, которая позволяет людям с математическим образованием легко понять мотивацию физики или физическое происхождение TQFT, это также будет полезно.
Когда Атья записал свои аксиомы для TQFT, он был вдохновлен аналогичными аксиомами, которые Сигал придумал для описания 2-мерных CFT. Хорошее объяснение физической мотивации с аксиоматической точки зрения дается в лекциях Сигала (он говорит об аксиомах для КТП, но вы узнаете части аксиом для ТКТП), но вы также можете взглянуть на оригинальную статью Атьи . Еще одна хорошая ссылка — « Предыстория n-категориальной физики » Баэза или ICM-адрес Виттена .
Топологические теории квантового поля действительно являются примерами квантовых теорий поля. Их общая характеристика примерно такова, что «эволюция во времени» зависит только от изменений в топологии. Что соответствует аксиоме . Физик сформулировал бы это как «исчезновение гамильтониана».
Причина, по которой функтор обычно называют это потому, что это должно напомнить вам о «Zusstandssumme», немецком термине для функции распределения. Когда физик хочет изучить проблему статистической физики или квантовой теории поля (они связаны между собой), он часто начинает с записи статистической суммы (также называемой в данном контексте функциональной/фейнмановской/интегральной суммой).
куда некоторое пространство «полей» на фиксированном многообразии . Вы можете думать об аксиомах как о свойствах, которыми должна обладать разумная статистическая сумма. Общий язык CFT/QFT/TQFT — это язык этих функциональных интегралов.
Чтобы понять это с физической точки зрения, вы должны хотя бы немного понимать квантовую механику. Я не уверен, какие есть хорошие книги для математиков, но я думаю, что об этом был вопрос на mathoverflow. И, конечно же, двухтомник "Квантовые поля и струны: курс для математиков". Заметки, из которых были сделаны книги, все еще можно найти в Интернете на веб-сайте ias.
Вы можете начать с массивной электродинамики Черна-Саймонса. Это трехмерная электродинамика (очень физическая теория) с лагранжианом:
Топологический предел (опустить обычный кинетический термин). Теория Черна-Саймонса Виттена, полиномиальная теория Джонса, является естественным неабелевым обобщением, опять же в пределе . Это естественная регулируемая версия, и она должна быть более четко определена математически, чем нерегулируемая топологическая версия.
Топологическая версия является сингулярной, потому что поток через узел зависит от типа узла и является прерывистым, когда узел движется, чтобы пересечь себя, чтобы стать другим узлом. Кинетический член в приведенном выше примере дополняет сингулярность и делает теорию физически определяемой с помощью регуляторов. Поскольку он в 3D, у него тоже должна быть строгая версия, хотя я не знаю, какая работа была проделана над этим.
Одной книгой, которая мне понравилась, была «Квантовая теория поля в двух словах» Зи. Она написана в довольно неформальной манере (ну, во всяком случае, для учебника) и предполагает, что вы неплохо разбираетесь в математике. Это также не квантовая книга вводного уровня, и предполагается, что вы уже прошли хотя бы один курс по квантовой механике — нотация бракета и тому подобное.
Дэвид З.
Джонатан Глисон