TQFT связывает категорию с многообразием

Здесь можно различать и понимать три различных этапа:

во- первых: возможно, часть вопроса заключается в том, почему$n$-мерная КТП должна присваивать номера закрытым$n$-мерные многообразия и векторные пространства к замкнутым$(n-1)$-мерные многообразия. Это то, на что я ответил в другом обсуждении, связанном с вышеизложенным: назначенные векторные пространства — это всего лишь пространства квантовых состояний, присвоенные пространственному гиперсрезу пространства-времени, числа, присвоенные закрытым$n$-мерные части пространства-времени - это статистические суммы и, как правило, линейные карты, назначенные$n$-мерные куски пространства-времени с границей являются квантовыми пропагаторами (корреляторами, S-матрицей ), которые распространяют входящие состояния в исходящие состояния.

во- вторых: вопрос в том, почему кто-то может захотеть уточнить это присвоение («QFT типа Атьи-Сегала») до чего-то, что также присваивает данные$(n-k)$-мерные куски пространства-времени, для всех$0 \leq k \leq n$. Ответ на этот вопрос заключается в том, что это решает то, что в физике известно как «проблема ковариантного квантования». А именно, присвоение векторных пространств состояний пространственным гиперсрезам априори означает нарушение диффеоморфной инвариантности теории поля, в конце концов, это включает в себя выбор этих пространственных гиперсрезов и присвоение им данных способом, который не является априорным ковариантным построением.

Весь смысл « расширенной ТКТП » состоит в том, чтобы решить эту «проблему ковариантного квантования теории поля», установив, что пространства квантовых состояний, которые соответствуют пространственным гиперсрезам кодименинсона-1, возникают в результате склеивания локальных данных. Это принцип локальности квантовой теории поля, согласно которому каждое глобальное назначение должно быть реконструировано из склеивания локальных назначений.

Математически здесь появляются высшие категории : там, где обычная категория векторных пространств знает о векторных пространствах и линейных отображениях между ними, следовательно, о данных пространств квантовых состояний и пропагаторов между ними, n-категорическое уточнение этого также будет знать, как строить пространства квантовых состояний (которые затем продвигаются от объектов к$(n-1)$-морфизмы) из локальных данных (а именно путем составления$(n-1)$-морфизмы вдоль$(n-2)$-морфизмы).

Итак, резюмируя: причина перехода от КТП в стиле Атьи-Сигала, которая формализует назначение пространств квантовых состояний пространственным гиперповерхностям и линейных квантовых карт пропагаторов между ними к фрагментам пространства-времени, к более категоричной расширенной КТП , заключается в полной реализации принципа локальности . квантовой теории поля в аксиомах.

Высшим пунктом этой аксиоматики является теорема о кобордизмах, которая строго классифицирует все полностью локальные («расширенные») ТКТП.

в- третьих , вопрос, наконец, состоит в следующем: если$n$-мерная полностью локальная (топологическая) квантовая теория поля, следовательно, является n-функтором$Bord_n \to \mathcal{C}$из n-категории кобордизмов в некоторую n-категорию $\mathcal{C}$которое в своих двух высших степенях измерения выглядит как векторные пространства с линейными отображениями между ними, то: что должно$\mathcal{C}$быть как в более низких степенях?

На самом деле это вопрос продолжающегося расследования. Сама теорема о кобордизмах допускает любую n-категорию со всеми двойственными , но многие из них на самом деле не будут «выглядеть очень физическими».

В любом случае, здесь следует отметить, что$\mathcal{C}$это выбор . Это может - но не обязательно - выглядеть так, как было предложено выше в вопросе. Вот как это выглядит для 3d TQFT типа теории Черна-Саймонса . Самая сильная теорема на этот счет сейчас, вероятно, принадлежит Дугласу и Шоммеру-Прайсу и Снайдеру 13 . Смотрите там больше.

Я не могу комментировать часть теории категорий, но идеи, касающиеся «чисел» для трехмерного многообразия и векторных пространств для римановых поверхностей, естественным образом возникают в теории Громова-Виттена (см. здесь: http://www.math.harvard.edu ). /~jbland/ma273x_notes.pdf за хорошее введение).

Эвристический рецепт (физическое объяснение) таков: возьмем замкнутое симплектическое (как в ТКТП) многообразие$\Omega$. Посмотрите на карты римановых поверхностей рода$g$:$R_{g}$, в гладкое пространство, построенное из$\Omega$(как грассманиан$\mathbf{G}$). Теперь вы можете посмотреть на стек модулей всех таких отображений (т. е. набор псевдоголоморфных кривых$\psi$от$R_{g}$к$\mathbf{G}$удовлетворяющих некоторым условиям, назовите это$\mathcal{M}$). Этот стек модулей$\mathcal{M}$допускает теорию полей классов, т. е. имеет на ней некоторые отношения эквивалентности$[Z,\tilde~]$который говорит вам, когда две кривые эквивалентны. Это очень важно, поскольку римановы поверхности ведут себя несколько странно, и если вы когда-нибудь изучали разрезы ветвями и тому подобное, то поймете, о чем я. Это означает, что при различных$g$у вас могут быть вырождения между ними.

Затем на этом стеке модулей изучается теория пересечений и подсчитывается количество псевдоголоморфных кривых, которые подчиняются некоторым соотношениям по модулю отношения эквивалентности$\tilde~$. Сама теория пересечений производит числовые инварианты, которые полезны для описания топологической природы многообразия.$\Omega$. Эти идеи очень напоминают идеи когомологий де Рама, изучающих дифференциальные формы на многообразии.$\Omega$лучше понять его топологию. Это очень важная концепция в ТКТП, поскольку хотелось бы точно знать, насколько «уникальна» или иным образом их многообразная структура. Вычисление этих инвариантов с помощью интегралов по$\mathbf{G}$в принципе можно.

Например, в теории струн можно представить, что струны разных типов могут соединяться вместе, образуя различные топологические структуры, которые в большем масштабе представляют различные типы частиц, которые мы наблюдаем. Чтобы точно описать все возможные конфигурации того, как эти струны соединяются, необходимо проанализировать эти инварианты Громова-Виттена, чтобы сохранить внутреннюю согласованность (т.е. у вас не может быть частицы, которая имеет два различных уровня энергии основного состояния).

Не уверен, что это вообще полезно, но я думаю, что изучение инвариантов Громова-Виттена (или Дональдсона-Томаса и т. д.) - это то, что вам нужно здесь (см. Здесь: http://ncatlab.org/nlab/show/Gromov -Виттен+инварианты тоже).

Я ожидаю, что это несколько аксиоматическое утверждение, поскольку аксиомы TQFT включают связь римановой поверхности$\Sigma$в векторное пространство (или модуль)$Z(\Sigma)$, и элемент$Z(M)\in Z(\partial M)$к коллектору$M$. Они не содержат прямой ссылки на категории. Похоже, что категории являются естественными расширениями нижних измерений ($d=0$и$d=1$).