Чирп частоты, мгновенная частота и фотоны

Интересно, это тот случай, когда у вас есть физическая интуиция о фотонах, которая не совсем работает?

Если мы скажем, что «фотон» имеет частоту$\omega$(и энергия$\hbar \omega$), то мы говорим, что термин «фотон» относится к возбуждению мод электромагнитного поля, так что моды на частоте$\omega$вовлечены в суперпозицию любых направлений и поляризаций, которые могут иметь отношение к собственному состоянию оператора числа фотонов ($\hat{a}_\omega^\dagger \hat{a}_\omega$) с собственным значением, равным 1. Суть вашего вопроса в том, что если рассматриваемая мода действительно монохроматическая, то она имеет бесконечное расширение в пространстве. Как и монохроматическая классическая волна, она не может быть локализована в одном месте. Итак, каждый фотон разбросан очень широко: бесконечно широко.

С чирпированным лазерным импульсом вы имеете совокупность фотонов, т. е. возбуждений мод, и в той мере, в какой вы считаете каждую моду монохроматической, в той же степени вы должны допустить, что такая мода должна быть растянута во времени и, следовательно, в пространстве, как хорошо. Все моды перекрываются, и все они присутствуют в любой момент времени в импульсе. В этом отношении это похоже на анализ Фурье чирпированного импульса какой-либо классической волны. Таким образом, фотоны всех частот присутствуют всегда (если вы настаиваете на том, чтобы связать каждый фотон с определенной частотой).

Вы можете, если хотите, проанализировать поле по-другому и выразить его с помощью вейвлет-преобразования вместо преобразования Фурье. Тогда вы можете использовать термин «фотон» для каждого вейвлета. Такие фотоны не были бы монохроматическими, и теперь они не все время присутствовали бы.

Надеюсь, это поможет. Если я неправильно понял, в чем проблема, то извините за это.

Недавний пост явно решает модель безмассового квантового скалярного поля (прокси для квантового электромагнитного поля), движимого классическим током. Ток является произвольной функцией времени и пространства, за исключением того, что он ограничен конечным временным интервалом, поэтому решение включает в себя сигналы с изменяющейся во времени частотой как особый случай. Следующие выводы основаны на этом решении, а некоторые основные моменты из математики изложены в конце. Выводы, описанные здесь, согласуются с более ранними ответами Эндрю Стина и С. МакГрю .

Я буду использовать единицы, в которых скорость света и постоянная Планка равны$1$.

...в моем интуитивном мысленном представлении этого явления импульс будет состоять из множества разных фотонов...

Да. Эта часть верна, с той оговоркой, что импульс можно более точно описать как квантовую суперпозицию различного количества фотонов. Этот комментарий, как и все последующие комментарии, предполагает, что простая модель, приведенная выше, является адекватной моделью для любых светоизлучающих устройств, предполагаемых в вопросе.

...импульс будет состоять из множества разных фотонов, каждый из которых имеет частоту, принадлежащую спектру...

Точнее сказать, что каждый отдельный фотон охватывает все частоты, принадлежащие спектру. Один фотон может находиться в квантовой суперпозиции множества различных волновых чисел.$\mathbf{p}$, и, следовательно, в квантовой суперпозиции многих различных частот$\omega=|\mathbf{p}|$. Каждый фотон имеет один и тот же «профиль» в области волновых чисел (также известной как область импульса), и особая суперпозиция разного количества этих идентичных фотонов объясняет по существу классический характер импульса. Это количественно ниже.

... количество фотонов на этой частоте будет пропорционально интенсивности этого спектрального компонента.

Это может быть правильным утверждением, если его тщательно интерпретировать. Количество фотонов , обнаруженных на данной частоте с помощью частотно-селективного детектора, будет пропорционально интенсивности этого спектрального компонента. До обнаружения каждый отдельный фотон охватывает широкий диапазон частот. Это аналогично утверждению, что в эксперименте с двумя щелями каждый отдельный фотон проходит через обе щели, даже если отдельный фотон будет обнаружен только в одной из щелей, если детекторы будут размещены внутри щелей.

Конечно, тот простой факт, что реальные детекторы должны быть локализованы в пространстве и должны эффективно «интегрироваться» за конечный интервал времени, подразумевает, что сам детектор может различать разные частоты только до некоторого конечного разрешения. Это ограничение уже присутствует в классической физике и все еще присутствует в квантовой картине.

... если импульс чирпирован, у нас будут области импульса (как во времени, так и в пространстве), в которых фотонов на определенной частоте больше (измерены с большей вероятностью?) по отношению к фотонам на другой ...

Как объяснялось выше, это утверждение можно уточнить, слегка изменив его, например: «если импульс чирпирован, у нас будут области импульса (как во времени, так и в пространстве), в которых частотно-селективный счетчик фотонов будет регистрируют больше фотонов на одних частотах, чем на других".

Есть ли способ получить интуитивное квантовое описание, согласующееся с классическим?

Да. Это является предметом основных моментов, показанных ниже, из точного решения в ранее цитируемом сообщении.

Вторая проблема связана с концепцией мгновенной частоты...

Поскольку отдельный фотон не имеет индивидуальной частоты, понятие «мгновенной частоты» не более (и не менее) проблематично, чем в классической картине. Отдельный фотон имеет зависящий от времени профиль, как и классическая волна; и на самом деле все свойства классической волны могут быть восстановлены из свойств одного фотона , при том понимании, что по существу классическая волна включает в себя множество идентичных копий этого фотона. Ниже приведена количественная оценка.

Таким образом, фотоны определенной частоты в чирпированном импульсе будут измерены с большей вероятностью в той части импульса, в которой их частота соответствует мгновенной частоте.

Комментарии, уже сделанные выше, применимы и здесь. Концепция фотонов на определенной частоте не совсем точна, точно так же, как неверно описывать классический чирпированный сигнал (скажем) на определенной частоте. Однако с некоторыми оговорками это можно превратить в точное утверждение. Некоторые из этих предостережений описаны после следующего отрывка...

Каков физический смысл мгновенной частоты? Как концепция несущей частоты связана с этим интуитивно понятным квантовым представлением?

После того, как взаимосвязь между классической и квантовой картинами будет рассмотрена ниже, на эти вопросы будут даны неявные ответы: концепции мгновенной частоты и несущей частоты применимы к каждому отдельному фотону точно так же, как и к общему по существу классическому импульсу, с пониманием что любое применение измерения может дать только один из возможных результатов, определяемых этим конкретным измерением. Если мы применим измерение, которое спрашивает, какова частота фотона, то мы получим в качестве ответа некоторую частоту. Это не означает, что фотон был ограничен этой частотой до измерения; мы знаем это благодаря экспериментам, подобным описанным в другом посте .

Даже для классической волны необходимо тщательно определить понятие «мгновенной частоты». Для математически идеализированного определения мы могли бы разделить классическую волновую функцию на ее части с положительной и отрицательной частотой (определяемые с помощью преобразования Гильберта), а затем определить «мгновенную частоту» как производную по времени фазы любой из них. эти две комплекснозначные части. Более практичное определение основано на том факте, что любой реальный частотно-селективный счетчик фотонов будет иметь некоторый конечный размер и будет эффективно интегрироваться в течение некоторого конечного интервала времени. Ввиду этого мы можем определить «мгновенную частоту» более практичным образом как царь средней частоты в этой области пространства в течение этого временного интервала. С этим (расплывчатым) определением

---

Чтобы более подробно описать взаимосвязь между классической и квантовой картинами, вот несколько основных моментов из поста, процитированного выше ( https://physics.stackexchange.com/a/443761 ).

Точное решение в процитированном посте показывает, что после отключения тока результирующее квантовое состояние поля является когерентным состоянием

$$\begin{align} |\psi\rangle &\propto \sum_{n\geq 0} \frac{\big(A^\dagger \big)^n}{n!}\,|T\rangle \\ &= |T\rangle + A^\dagger|T\rangle + \frac{1}{2!}\big(A^\dagger \big)^2|T\rangle + \frac{1}{3!}\big(A^\dagger \big)^3|T\rangle +\cdots \tag{1} \end{align}$$ где$|T\rangle$представляет состояние вакуума в разы$t>T$после текущего$J$выключен. Каждая заявка оператора $$\begin{equation} A^\dagger \equiv \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ a_J(\mathbf{p}) a^\dagger(\mathbf{p}) \tag{2} \end{equation}$$ в вакуумное состояние создает один фотон, «профиль» которого описывается комплексной функцией$a_J(\mathbf{p})$, так как каждое применение оператора$a^\dagger(\mathbf{p})$в вакуумное состояние создает один фотон с волновым числом (или импульсом)$\mathbf{p}$. Так, например, государство$A^\dagger|T\rangle$имеет один фотон с профилем$a_J(\mathbf{p})$, и государство $$\big(A^\dagger \big)^n|T\rangle \tag{3}$$ имеет$n$одинаковые фотоны с таким же профилем. Когерентное состояние (1) представляет собой квантовую суперпозицию разного количества фотонов с одним и тем же профилем. Оператор создания $a^\dagger(\mathbf{p})$является сопряженным к оператору уничтожения $a(\mathbf{p})$. Каждое применение оператора уничтожения удаляет один фотон (с указанным$\mathbf{p}$) из состояния, а если такого фотона нет, результат нулевой. (Не ноль фотонов, а просто ноль , что означает, что этот член больше не вносит никакого вклада в общую квантовую суперпозицию.)

Чтобы связать фотонную картину с картиной классической волны, мы можем использовать наблюдаемую амплитуду поля$\phi(t,\mathbf{x})$, отношение которого к операторам создания/уничтожения показано в другом посте. Ожидаемое значение этой наблюдаемой в состоянии (1) равно

$$\begin{equation} \langle \psi|\phi(t,\mathbf{x})|\psi\rangle=\phi_J(t,\mathbf{x}), \tag{4} \end{equation}$$ где вещественная функция$\phi_J(t,\mathbf{x})$относится к$a_J(\mathbf{p})$к $$\begin{equation} \phi_J(t,\mathbf{x}) =\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\, \frac{e^{-i\omega t}a_J(\mathbf{p}) +e^{i\omega t}a_J^\dagger(-\mathbf{p})}{ \sqrt{2\omega}} \tag{5} \end{equation}$$ с$\omega\equiv |\mathbf{p}|$. Как объяснялось в другом посте, если величина$a_J$достаточно велико, то состояние (1) описывает эффективно-классическую волну с изменяющейся во времени амплитудой, задаваемой функцией$\phi_J(t,\mathbf{x})$.

Уравнение (5) дает явную связь между эффективно-классической волной$\phi_J(t,\mathbf{x})$и однофотонный профиль$a_J(\mathbf{p})$в уравнении (2). Чтобы связать это с поведением локализованного частотно-селективного устройства подсчета фотонов, нам нужно построить наблюдаемую, соответствующую такому устройству. Один из способов сделать это — позволить$\phi^+(t,\mathbf{x})$обозначают наблюдаемую часть амплитуды поля$\phi(t,\mathbf{x})$который включает только операторы создания$a^\dagger(\mathbf{p})$, и пусть$\phi^-(t,\mathbf{x})$обозначают наблюдаемую часть амплитуды поля$\phi(t,\mathbf{x})$в котором участвуют только операторы уничтожения$a(\mathbf{p})$. Тогда мы можем использовать оператор вида

$$\begin{equation} D(t) = \int d^3x\,d^3y\ f(\mathbf{x},\mathbf{y}) \phi^+(t,\mathbf{x})\phi^-(t,\mathbf{y}) \tag{6} \end{equation}$$ как наблюдаемая, соответствующая квазилокализованному счетчику фотонов. Это зависит от времени$t$потому что эта формулировка использует картину Гейзенберга, где вся зависимость от времени определяется наблюдаемыми, а не вектором состояния. Функция$f$можно настроить, чтобы выбрать, где расположен счетчик и к какому диапазону волновых чисел он чувствителен.

Я сказал « квази -локализованный», потому что, хотя наблюдаемые амплитуды поля$\phi(t,\mathbf{x})$локализованы по определению, операторы$\phi^\pm(t,\mathbf{x})$строго не локализованы: они не коммутируют с операторами амплитуды поля на пространственноподобном расстоянии. В результате оператор (6) представляет собой квазилокализованный счетчик фотонов. Оператор, строго локализованный в любой конечной области пространства, не может аннулировать вакуумное состояние ( теорема Ри-Шлидера ), поэтому строго локализованный счетчик фотонов не может быть бесшумным. Счетчик фотонов, представленный (6), бесшумный, но не строго локализованный.

Выводы, устно выраженные в основной части ответа, все основаны на этой математической формулировке.

Очень короткий лазерный импульс (т. е. фемтосекундный импульс) имеет континуум частот (спектр), независимо от того, сколько фотонов он содержит. Ослабьте импульс до одного фотона на импульс, и фотон (до обнаружения) будет вести себя так, как если бы он имел полный спектр неослабленного импульса. Это не зависит от каких-либо нелинейных эффектов, которые могут быть связаны с распространением импульса через среду.

Если измерить частоту такого фотона, например, послав лазерный импульс через призму и измерив угол выхода, то, конечно, измерение даст только одну частоту, так же как однофотонная интерферометрия дает только одно местоположение или путь за один раз. фотон. Но до измерения частоты фотона волновой пакет фотона включает в себя весь частотный спектр импульса. Хорошо зарекомендовавшие себя методы формирования когерентных импульсов могут дать представление об этом.