Что интуитивно означает метрическое условие ∇ρgμν=0∇ρgμν=0\nabla_\rho g_{\mu\nu}=0 в общей теории относительности для наблюдателя, измеряющего расстояния?

Состояние$\nabla_{a}g_{bc} = 0$просто чистая математика. Каждая метрика допускает метрику без кручения (для одного определения, удовлетворяющую условию$\nabla_{[a}\nabla_{b]}f = 0$для каждой функции на многообразии) связность, удовлетворяющая этому условию.

То, что общая теория относительности формулируется с использованием этой связи, является утверждением, что гравитация подчиняется принципу эквивалентности — свободно падающий наблюдатель параллельно перемещается по геодезическим$\nabla$относительно$g$. И то, что это параллельный перевод, закодировано в этом условии в метрике.

В нем говорится, что метрика ведет себя как константа по отношению к ковариантному дифференцированию, что означает, что векторы имеют постоянную величину при параллельном смещении. Другими словами, если вы сместите линейку метра, она останется линейкой метра, и если вы сдвинете часы, которые измеряют одну секунду в секунду (не нарушая механизма), они по-прежнему будут измерять одну секунду в секунду.

Прежде всего заметим, что ковариантная производная вектора является тензором. Это означает, что если у нас есть два вектора$A_\mu$и$A^\nu$, то их ковариантные производные$\nabla_\rho A_\mu$и$\nabla_\rho A^\nu$являются тензорами. Эти два тензора удовлетворяют закону преобразования:

Интуитивное значение:

Таким образом, метрический тензор сохраняется при ковариантном дифференцировании. Однако это не означает, что все частные производные равны нулю. Можно выразить частные производные от$g_{\mu\nu}$в терминах связностей Кристоффеля и может сделать его равным нулю только в локальной точке пространства-времени. Используя этот процесс, можно показать, что связности Кристоффеля являются функциями первых производных метрического тензора.

Можно получить выражение для тензора кривизны Римана, который является функцией первых производных связностей Кристоффеля (т. е. функцией вторых производных метрического тензора), чтобы найти, что тензор Римана не может быть сведен к нулю в локальной точке . Это означает, что все вторые производные метрического тензора не могут быть сведены к нулю ни в одной локальной точке пространства-времени. Количество сохранившихся вторых производных равно$\frac{1}{12}D^2(D^2-1)$, что для$D=4$размерность равна 20. Это число независимых компонент тензора Римана.

Состояние$\nabla_\rho g_{\mu\nu}=0$интуитивно означает, что все первые производные метрического тензора могут быть равны нулю в локальной точке пространства-времени, но все вторые производные не могут быть тождественно равными нулю в такой точке. А количество уцелевших вторых производных метрического тензора определяет кривизну пространства-времени. Это определяет и само понятие локально-инерциальных систем отсчета.

Я считаю, что лучший способ понять это — использовать принцип эквивалентности, используя линейку и часы. Принцип эквивалентности гласит, что в определенных пределах расстояния и времени невозможно определить, свободно ли вы падаете на массивное тело или плывете в глубоком космосе вдали от всех массивных небесных тел.

Если бы метрика не была ковариантной константой, то ваша линейка и/или ваши часы изменили бы свои измерения. Так, например, вы можете пройти мимо линейки идентичного изготовления, лежащей перпендикулярно направлению движения, и ваша линейка будет иметь другую длину, если вы положите ее параллельно другой, когда вы проходите.

Если вы путешествовали по какому-то закрытому пути, ваши часы и линейка могут не показывать те же показания, что и в момент вашего ухода.

Один из аргументов, с которыми я столкнулся, заключался в том, что скалярное произведение должно быть инвариантным. Но вот только возникает вопрос, почему?

Думаю, у меня есть довольно интуитивный ответ, основанный на геометрии и физике.

Если ковариантная производная, действующая на метрический тензор, обращается в нуль, это означает, что при параллельном переносе любых двух векторов$u$,$v$(т. е. векторов, живущих на касательном пространстве в точке многообразия) вдоль любой кривой скалярное произведение между ними ковариантно постоянно (что, вообще говоря, не означает численно постоянно), т. е.

Теперь, поскольку обобщением прямых линий являются геодезические кривые (которые локально воспринимаются путешествующим наблюдателем как прямые), это условие означает, что параллельный перенос касательного вектора к кривой$\gamma$означает, что его длина сохраняется. Теперь касательный вектор к кривой в реальном пространстве означает, что этот вектор является вектором скорости. Таким образом, приведенное выше является «кривым обобщением» утверждения о том, что когда сумма внешних сил, действующих на тело, равна нулю, то его скорость постоянна (локально она действительно постоянна — не только по длине — при наблюдении локальным наблюдателем, поскольку он/она рассматривает свой путь вдоль геодезической как следование по прямой линии, хотя опять же, это не численно постоянно).

Примечание. Это еще не все, поскольку ОТО нуждается в ковариантно постоянной метрике и связности без кручения. Кручение имеет свойство «перекручивать» векторы, но основная мысль в моем ответе, я считаю, правильная.