Перестановочные ковариантные производные спиноров

Я буду использовать для вас другие обозначения, и все, что я запишу, можно найти в Ref. [1] главы 1.1 - 1.6, я настоятельно рекомендую его (раздел 1.6 особенно актуален, но вам также понадобятся предыдущие разделы).

Я буду делать все в касательной системе отсчета (поэтому все индексы локальные Лоренца), вы можете просто преобразовать обратно, используя vielbein, если хотите. Я также буду работать в четырех измерениях. Ковариантная производная записывается как

$$\nabla_{a}=e_a+\frac{1}{2}\omega_a{}^{bc}M_{bc}~,$$ где$e_a=e_a{}^{m}\partial_m$является обратным вильбейном,$\omega_a{}^{bc}$является спиновой связью и$M_{ab}$являются генераторами Лоренца. Важное различие между моим выражением и вашим состоит в том, что мои генераторы Лоренца находятся в произвольном представлении, а ваши — в том, что, как я думаю, может быть представлением Дирака (т.е. 4-компонентные приводимые спиноры).

Затем можно показать, что в случае без кручения коммутатор ковариантных производных равен

$$[\nabla_a,\nabla_b]=\frac{1}{2}R_{ab}{}^{cd}M_{cd}~.$$ Прелесть этой формулы в том, что она может действовать на любой тип спин-тензора, вам нужно только помнить, как генераторы Лоренца действуют на разные объекты, отсюда вас выведет правило Лейбница для генераторов.

Я приведу несколько примеров того, как$M_{ab}$воздействовать на определенные объекты, но вы, вероятно, знакомы с ними. Позволять$V_a$быть вектором,$\psi_{\alpha}$и$\bar{\chi}^{\dot{\alpha}}$левый и правый двухкомпонентный спинор соответственно, и пусть$\Psi=\big(\psi_{\alpha},~\bar{\chi}^{\dot{\alpha}}\big)^T$быть четырехкомпонентным спинором. Генераторы Лоренца действуют следующим образом

$$\begin{align} M_{ab}V_c&=\eta_{ca}V_b-\eta_{cb}V_a~, \tag{1.a}\\ M_{ab}\psi_{\alpha}&=(\sigma_{ab})_{\alpha}{}^{\beta}\psi_{\beta}~, \tag{1.b}\\ M_{ab}\bar{\chi}^{\dot{\alpha}}&=(\tilde{\sigma}_{ab})^{\dot{\alpha}}{}_{\dot{\beta}}\bar{\chi}^{\dot{\beta}}~,\tag{1.c}\\ M_{ab}\Psi&=\Sigma_{ab}\Psi~. \tag{1.d} \end{align}$$

Здесь$\sigma_{ab}=-\frac{1}{4}\big(\sigma^a\tilde{\sigma}^b-\sigma^b\tilde{\sigma}^a\big)$,$\Sigma_{ab}=-\frac{1}{4}[\gamma_a,\gamma_b]$и$\gamma_a=\begin{pmatrix} 0 & \sigma_a \\ \tilde{\sigma}_a &0\end{pmatrix}$и т.д.

Конечно, если вы работаете со спинорами, обычно гораздо проще преобразовать все в двухкомпонентную спинорную нотацию, тогда нужно помнить только два правила.

В заключение я сделаю один из ваших примеров явно. Я буду считать, что ваш$\psi$является четырехкомпонентным спинором.

$$\begin{align} [\nabla_a,\nabla_b]\nabla_c\nabla_d\psi&=\frac{1}{2}R_{ab}{}^{fg}M_{fg}\bigg(\nabla_c\nabla_d\psi\bigg) \\ &=\frac{1}{2}R_{ab}{}^{fg}\bigg(M_{fg}\nabla_c\nabla_d\psi+\nabla_cM_{fg}\nabla_d\psi+\nabla_c\nabla_dM_{fg}\psi\bigg)\\ &=\frac{1}{2}R_{ab}{}^{fg}\bigg(2\eta_{cf}\nabla_g\nabla_d\psi+2\nabla_c\eta_{df}\nabla_g\psi+\nabla_c\nabla_d\Sigma_{fg}\psi\bigg)\\ &=R_{abc}{}^{f}\nabla_f\nabla_d\psi+R_{abd}{}^{f}\nabla_c\nabla_f\psi+\frac{1}{2}R_{ab}{}^{fg}\Sigma_{fg}\nabla_c\nabla_d\psi~. \end{align}$$

[1] И.Л. Бухбиндер и С.М. Кузенко, Идеи и методы суперсимметрии и супергравитации, или прогулка по суперпространству , ИОП, Бристоль (1995) (пересмотренное издание 1998 г.).