Любые советы по оценке тензора Римана?

Я вычисляю тензор Римана для решения Шварцшильда. Я уже вычислил все 9 неисчезающих символов Кристоффеля. Теперь мне нужно оценить тензор Римана, и я не нахожу простого способа сделать это. У меня есть

р α β γ дельта "=" ∂ γ Г β дельта α − ∂ дельта Г β γ α + Г β дельта мю Г мю γ α − Г β γ мю Г мю дельта α
и у меня есть только следующие соединения, отличные от нуля:
Г т т р , Г θ θ р , Г ф ф р , Г р р р , Г р θ θ , Г р ф ф , Г ф ф θ , Г θ ф ф , Г т р т

Я думаю ввести первую частную производную ∂ γ Г β дельта α только один из этих символов у меня уже есть, однако я боюсь, что это не заставит меня пройти через все возможные неисчезающие компоненты тензора Римана, которые мне нужны.

Я получу все компоненты? Есть ли другие простые способы сделать это?

PS1: Да, я знаю симметрии и что есть только 20 независимых компонентов.

PS2: я также знаю, что у меня есть ответ в книге, но я хочу сделать это сам, чтобы попрактиковаться

PS3: мне не нужен специальный метод только для решения Шварцшильда, более «общий простой выход» из него.

Ответы (5)

Существует относительно быстрый подход к вычислению тензора Римана, тензора Риччи и скаляра Риччи с учетом метрического тензора, известного как метод Картана или метод движущихся систем отсчета . Учитывая линейный элемент,

г с 2 "=" г мю ν г Икс мю г Икс ν

вы выбираете ортонормированный базис е а "=" е мю а г Икс мю такой, что г с 2 "=" η а б е а е б . Первое структурное уравнение Картана,

г е а + ю б а ∧ е б "=" 0

позволяет решить компоненты спиновой связи ю б а из которого можно вычислить тензор Риччи в ортонормированном базисе:

р б а "=" г ю б а + ю с а ∧ ю б с .

Весь процесс требует лишь внешней дифференциации базиса и спиновой связи. Компоненты Римана могут быть выведены из соотношения

р б а "=" р б с г а е с ∧ е г

возможно с коэффициентом 1 2 в зависимости от ваших условностей. Чтобы преобразовать обратно в координатную основу, нужно просто вернуться к базе обратно:

р ν λ κ мю "=" ( е − 1 ) а мю р б с г а е ν б е λ с е κ г .

Для явного расчета см. мои предыдущие ответы здесь , здесь и здесь . Лекции по гравитационной физике на pirsa.org также содержат явные примеры. Что касается использования систем компьютерной алгебры, если все, что вы хотите сделать, это вычислить тензоры кривизны, учебник Хартла для Mathematica — ваш лучший вариант или БОЛЬШОЙ пакет . Если вы хотите заниматься более сложными вещами, такими как теория возмущений, вам потребуется xAct.

Жаль, что это не принятый ответ.
Решение Шварцшильда было явно разработано в наборе неофициальных конспектов лекций, основанных на курсе Малкольма Перри. Я уверен, что он все еще доступен в Интернете, хотя я не могу найти его в данный момент.
@ noir1993 Это стандартное упражнение, которое делается в лекциях, на которые я ссылался в более общем виде. И спасибо, я верю, что принятый ответ на самом деле не является ответом...

Это старый вопрос, но я чувствую, что он все еще заслуживает ответа. Если вы не хотите использовать ортонормированные фреймы, все еще существуют методы, которые позволяют организовать данные в удобные для обработки формы, которые упрощают эти вычисления.

Сначала обратите внимание, что р   о мю ν р "=" ∂ мю Г ν о р − ∂ ν Г мю о р + Г мю λ р Г ν о λ − Г ν λ р Г мю о λ , которое может быть организовано в несколько матричных уравнений, если мы определим Г мю быть матрицей, чья ( р , о ) -й элемент Г мю о р . Тогда выходит 6 независимых «матриц Римана», р мю ν ( мю , ν кососимметричный), для которого

р мю ν "=" ∂ мю Г ν − ∂ ν Г мю + [ Г мю , Г ν ] .
Это потенциально требует больше вычислений, чем просто выделение 20 независимых компонентов и их перебор, но использование матриц позволяет получить очень четкое представление и организацию этих компонентов.

Вариантом этой темы является использование того же метода, который используется в подходе с ортонормированным каркасом, при этом второе структурное уравнение остается в силе. Мы можем вычислить тензор Римана как матрицу 2-форм, если определим Г ν мю "=" Г о ν мю г Икс о , затем

р   ν мю "=" 1 2 р   ν р о мю г Икс р ∧ г Икс о "=" г Г ν мю + Г λ мю ∧ Г ν λ .

Мы не можем напрямую использовать здесь симметрии тензора Римана, если только мю опускается, но для диагональной метрики мю индекс можно очень легко понизить, то из него можно вычислить только 6 2-форм.

Спасибо за этот ответ, это сделало вычисление податливым для меня.

Короткий ответ заключается в том, что вычисление тензора Римана — это рутинная работа. Это займет некоторое время, независимо от того, как вы это сделаете.

Предположительно, вы делаете метрику Шварцшильда в стандартных (Шварцшильда) координатах, поэтому вам помогает тот факт, что метрический тензор является диагональным. Это значит, что р β γ дельта α "=" г α α р α β γ дельта , нет суммы на α . Это удобно, так как ранг ( 0 , 4 ) форма тензора Римана - это то, где лежат все симметрии, но ( 1 , 3 ) Форма — это то, для чего у нас есть удобная формула. Остается только использовать известные вам симметрии, выбрать 20 компонентов и вычислить их вручную. Предварительно вычислите ненулевые элементы ∂ α Г γ дельта β и Г β ϵ α Г γ дельта ϵ .

Удачи!

Хотя я полностью одобряю подобные алгебраические упражнения, есть также кое-что, что нужно сказать для быстрого получения ответа. Если у вас есть доступ, стоит написать свой собственный скрипт Maple или Mathematica, чтобы сделать это за вас для произвольной метрики. Вы также можете использовать SymPy, это бесплатно, но немного менее мощно, как я проверял.

Ну правда спасибо. Это был ответ, которого я боялся, но он все равно помог. Есть ли какой-нибудь пакет для использования в Mathematica? Я начинаю программировать на нем, чтобы найти символы Кристоффеля прямо сейчас, однако я начинаю с нуля и это займет много времени (я начинающий программист).
Я никогда не использовал конкретный пакет, это был мой первый результат в Google: Ricci . К счастью, система Mathematica как бы создана для таких вещей, и сделать это самостоятельно — хорошее упражнение! Используйте Table[], Sum[]и Inverse[]с большим количеством Simplify[]промежуточных значений, и все будет в порядке :)
Пакет "diffgeo" выполняет все эти вычисления и многое другое. Вы можете скачать его с сайта people.brandeis.edu/~headrick/Mathematica.
Я полагаю, что на веб-сайте Джеймса Хартла по ОТО (связанном с его популярным учебником) также есть пакет Mathematica для вычисления подобных величин в ОТО. web.physics.ucsb.edu/~гравитибук
@EdisonCesar: я бы на самом деле рекомендовал реализовать свой собственный движок в математике - он научит вас, как работает движок векторного умножения, а также научит вас выполнять вычисления вручную.
Есть простой способ сделать это, он называется методом Картана или методом перемещения фреймов, если вы знаете дифференциальные формы. По сути, вы выбираете ортонормированный базис на основе вашей метрики и работаете с двумя структурными уравнениями Картана.
Как вы получили личность р α β γ дельта "=" г α α р α β γ дельта ? Разве это не должно быть р α β γ дельта "=" г α ϵ р ϵ β γ дельта поскольку метрика используется для повышения первого индекса или г α ϵ р ϵ β γ дельта "=" г α α р α β γ дельта по какой-то причине?
@HelloGoodbye они равны, потому что метрика диагональная: единственный ненулевой г α ϵ это тот, с ϵ "=" α

Возможно, будет полезно перечислить несколько пакетов, которые помогут вам оценить тензор Римана:

RGTC Easy (Mathematica)

GRTensorII Easy (Maple и ограниченная версия для Mathematica)

xAct Hard (Математика)

Если вам нужен быстрый расчет, я бы рекомендовал использовать RGTC для Mathamtica и GRTensorII для Maple.

Если вам нужны некоторые специальные функции (манипулирование большими группами перестановок, абстрактные тензорные вычисления, флагман системы, теория возмущений высокого порядка в ОТО и т. д.), используйте пакет xAct.

Я думаю, что вычисление тензора Римана вручную не особо просветляет, но если вы действительно хотите это сделать, то зачем просить помощи у нас, а не у книги? Вполне вероятно, что любой совет, который мы можем вам дать, все равно исходит из книги.

Сказав это, самым мощным пакетом для работы с тензорами для mathematica является xAct. Это требует некоторых твердых знаний в дифференциальной геометрии, которые у вас могут быть, а могут и не быть. Я разработчик xPrint, графического интерфейса для xAct, который ускоряет ввод тензора и может быть полезен для начинающих. Я бы посоветовал вам сначала потратить некоторое время на изучение дифференциальной геометрии и основных команд Mathematica.

Соответствующие ссылки можно найти в моем ответе на аналогичный вопрос на Mathematica.SE .

Любые советы по оценке тензора Римана?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v