Что определяет, являются ли динамические уравнения тензорными уравнениями или векторными уравнениями?

Второй закон Ньютона, который занимает центральное место в ньютоновской динамике, представляет собой векторное уравнение.

∑ Ф е Икс т е р н а л "=" м а

То же самое с уравнениями Максвелла в ковариантной форме.

С другой стороны, общая теория относительности подчиняется тензорному уравнению

р мю ν − 1 2 р   г мю ν "=" 8 π г с 4 Т мю ν

Мои вопросы:

  1. Есть ли глубокая причина, по которой одни динамические уравнения являются тензорными (2-го ранга), а другие — векторными уравнениями?
  2. Является ли уравнение Шредингера скалярным уравнением?
  3. Существуют ли в физике динамические уравнения, являющиеся тензорными уравнениями ранга выше 2?
  4. Существует ли верхняя граница максимального ранга физического тензорного уравнения? от какого-то физического аргумента может быть?
Тензор математически является вектором, поскольку набор всех таких-то тензоров образует векторное пространство. Вектор также является тензором, поскольку он является линейным отображением двойственного пространства на поле, над которым определено векторное пространство. Так что вроде особой разницы нет. Все они являются векторными уравнениями. Все они также являются тензорными уравнениями. Я не публикую это как ответ, так как это было бы довольно умно. Я хочу отметить, что вас, кажется, больше интересует вопрос, почему векторные пространства различны, или, альтернативно, почему ранги тензоров различны.
@MarkEichenlaub Да, в этом суть моего вопроса, почему некоторые динамические уравнения имеют разные ранги и существует ли верхняя граница числа рангов.
@Mark Eichenlaub При обсуждении тензоров вектор является тензором 1 ранга. Лучше не смешивать это с «векторными пространствами», которые лучше называть «линейными пространствами»: они менее структурированы.
@ Миша, какая аксиома не работает? en.wikipedia.org/wiki/Vector_space#Определение
@Mark Eichenlaub Я сказал «лучше не», а не «запрещено». Конечно, тензоры являются элементами линейного пространства. Говоря это, вы отбрасываете их свойства преобразования, которые делают их тензорами. Лучше почитайте больше о тензорах.
@Misha Перечитывая ваш комментарий, теперь я вижу, что вы только пытались указать, что свойства преобразования тензоров важны, и что если все, что вы говорите о них, это то, что они являются элементами векторного пространства, вы теряете эту важную структуру. Я согласен с вами, но я не понял вашего комментария сначала. Я также думаю, что с вашей стороны грубо говорить мне, чтобы я больше читал о тензорах. Я уже знаю, что такое тензоры, и уже понимаю важность их свойств преобразования. Если вы читали более саркастический комментарий, который я разместил несколько минут назад и который я удаляю, приношу извинения за него.
Уравнения в физике пишутся для физических переменных. Последние могут быть формально скалярными, векторными, тензорными и т. д. в зависимости от того, как их компоненты связаны друг с другом в разных системах отсчета. Без такой связи уравнения представляют собой просто наборы уравнений, часто связанных, но не обязательных. Количество уравнений зависит от физического содержания.

Ответы (1)

  1. Количество переменных в состоянии поля. Этот вопрос похож на «почему масса электрона меньше массы протона». Просто потому, что есть выбор.
  2. При обсуждении симметрии лучше говорить не об уравнении Шредингера, а об уравнениях Клейна-Гордона или Дирака, которые являются скалярными и спинорными (тензор 1/2 ранга) уравнениями. Уравнение Шредингера представляет собой нерелятивистский предел секунды без учета спина. Это может дать вам лучшую картину, чем просто утверждение, что это скаляр. Потому что технически это не инвариантно.
  3. В твердом состоянии спин 5/2 — это нормально. Наполовину заполненные d-оболочки некоторых металлов ведут себя так, как будто они являются частицами со спином 5/2 «при нормальных условиях» (пока вас не интересует диапазон энергий, в котором система начинает ощущать свою составную природу). Возможно, бывают ситуации, когда у вас есть высшие импульсы, которые лучше эффективно трактовать в целом, не вдаваясь в детали их формирования.
  4. До сих пор не известны элементарные частицы со спином >2. Следовательно, уравнения для этих частиц имеют ранг меньше 2. Верхняя граница отсутствует.
Что определяет, являются ли динамические уравнения тензорными уравнениями или векторными уравнениями?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v