непрерывность электрического потенциала из-за поверхностного заряда

Ответ не в общем . Существуют патологические плотности заряда, при которых электрический потенциал имеет разрывы. К счастью, их всегда можно исключить по физическим причинам: обычно они имеют конечные количества противоположных зарядов, бесконечно близких друг к другу, что допускает произвольно высокие электрические поля и, следовательно, различные плотности энергии и бесконечные энергии конфигураций.

Как это работает? Возьмите две проводящие пластины и соедините их края. Я очень люблю использовать северное и южное полушария данной сферы, разделенные на экваторе (что имеет то преимущество, что не вводит никаких посторонних бесконечностей), но для простоты давайте использовать две полубесконечные плоскости, в$x,z$плоскости и разделены$x$ось.

Теперь подключите обе пластины к источнику напряжения и установите одну на потенциальную.$+V_0$а другой к$-V_0$. Потенциал на$x$ось (конечно!) прерывистая по построению.

Если вас это беспокоит, рассмотрите возможность распределения однородных, но противоположных поверхностных зарядов.$\pm \sigma_0$на$\pm z$тарелки. Зафиксировать некоторую положительную координату$z_0$. Затем, если вы приближаетесь к пластинам все больше и больше (т.е. когда вы берете$x\rightarrow 0$) пластины вырисовываются все больше и больше, и когда$x\ll z_0$в$-$пластина смотрит так далеко, что локальный потенциал должен быть положительным и отклоняться от нуля. Точно так же, если$z_0<0$потенциал достаточно близко к пластинам должен быть отрицательным. Таким образом, у вас есть точки произвольно рядом с$x$оси, которые имеют потенциалы, отделенные от нуля, как положительные, так и отрицательные, поэтому потенциал там прерывистый.

Так почему это не проблема? В этих патологических примерах вы помещаете много отрицательного заряда на проводящие поверхности рядом с большим количеством отрицательного заряда. Это предполагает, что вы разделили их изолятором нулевой толщины, который может выдерживать большие (хотя и конечные) разности потенциалов (то есть бесконечные электрические поля). Это просто не физическое: любой диэлектрик сломается или искрит, когда вы приблизитесь к этим условиям. Как только вы вводите конечное разделение, разрыв исчезает.

В более общем случае электростатический потенциал может иметь разрывы. Чаще всего они рассматриваются как поверхностные разрывы, и в этом случае они известны как дипольные слои , которые можно представить как бесконечно тонкие конденсаторы с постоянным потенциалом. (Поэтому они должны иметь два слоя противоположных, но бесконечных зарядов, что опять-таки не является физическим.)

Настоящий дипольный слой был бы чем-то вроде множества полярных молекул, направленных перпендикулярно к поверхности. Мы знаем, что потенциал внутри не является прерывистым и что электрические поля внутри велики, но конечны, но если вы снаружи, то все, что вы видите, это два плоских слоя заряда, которые смотрят на весь мир так, как будто они создают прерывистый потенциал. , так что вы можете также добавить это в свою математику и предположить, что он бесконечно тонкий.

Хорошо, пусть$\mathbf x_0$быть некоторой точкой на поверхности, и пусть$\mathbf n$обозначают нормаль к поверхности в точке$\mathbf x_0$. Учитывайте разницу

$$\begin{align} \Phi(\mathbf x_0 + \epsilon\mathbf n) - \Phi(\mathbf x_0 - \epsilon\mathbf n) &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_S \sigma(\mathbf x')\left(\frac{1}{|\mathbf x_0+\epsilon\mathbf n-\mathbf x'|}-\frac{1}{|\mathbf x_0-\epsilon\mathbf n-\mathbf x'|}\right) da' \end{align}$$ Но вспомним разложение Тейлора $$\frac{1}{|\mathbf x +\epsilon\mathbf a|} = \frac{1}{\mathbf x} + \epsilon\frac{\mathbf a\cdot\mathbf x}{|\mathbf x|^3} + \mathcal O(\epsilon^2)$$ из чего следует, что $$\begin{align} \frac{1}{|\mathbf x_0+\epsilon\mathbf n-\mathbf x'|}-\frac{1}{|\mathbf x_0-\epsilon\mathbf n-\mathbf x'|} &= 2\epsilon \frac{\mathbf n\cdot(\mathbf x_0-\mathbf x')}{|\mathbf x_0 - \mathbf x'|^3} +\mathcal O(\epsilon^2) \end{align}$$ и поэтому $$\Phi(\mathbf x_0 + \epsilon\mathbf n) - \Phi(\mathbf x_0 - \epsilon\mathbf n) =\epsilon\left(\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\int_S \sigma(\mathbf x')\frac{\mathbf n\cdot(\mathbf x_0-\mathbf x')}{|\mathbf x_0 - \mathbf x'|^3} da'\right) + \mathcal O(\epsilon^2)$$ из чего следует, что $$\lim_{\epsilon\to 0}\Big(\Phi(\mathbf x_0+\epsilon\mathbf n)-\Phi(\mathbf x_0-\epsilon\mathbf n)\Big)=0$$ Так $\Phi$непрерывен при поверхностном заряде.

Отказ от ответственности. Это не математически строгое доказательство, но я думаю, оно удовлетворит большинство физиков. Я предлагаю, чтобы, если требуется большая строгость, вопрос был перенесен в math.SE, возможность которого была впервые предложена пользователем Qmechanic.

Альтернативный, возможно, более физический аргумент:

С:

1. Электрическое поле должно быть конечным для поверхностного распределения заряда, например, потому, что оно локально плоское.
2. Потенциал представляет собой линейный интеграл электрического поля.
3. Линейный интеграл функции без особенностей будет непрерывным.

потенциал должен быть непрерывным. Вы можете обнаружить, что первое утверждение лишено строгости.

Вы пытаетесь решить это, начиная с функции Грина для уравнения Пуассона, которое само по себе имеет сингулярность. Это, наверное, не самый естественный метод. В качестве альтернативы предыдущему аргументу вы можете найти условия, которые необходимы и/или достаточны для того, чтобы решения уравнения Пуассона были непрерывными.

Между прочим, я хотел бы отметить, что то, что вы пытаетесь доказать, на самом деле не имеет места, если вы считаете точечный заряд частным случаем распределения поверхностного заряда.