Что означает «одно и то же место» в специальной теории относительности (определение собственного времени), когда истинной длины не существует?

Если космический корабль движется от звезды А как раз в тот момент, когда звезда взрывается сверхновой, и достигает звезды Б как раз в тот момент, когда она также взрывается, то оба взрыва произошли в одном и том же месте в кадре космического корабля (а именно в самом его положении) .

Диаграмма пространства-времени может быть самым ясным способом ответить на этот вопрос. Я нарисовал его на повернутой миллиметровой бумаге, чтобы интервалы («галочки») было легче увидеть.

В моем примере я использую v=(4/5)c (чтобы упростить арифметику).
Так,$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=5/3$.

Предположим, что электрон перемещается с одной стороны линии луча на другую. (Здесь в лабораторной рамке длина луча составляет 20 единиц. Поскольку линия луча находится в покое в лабораторной рамке, правильная длина линии луча составляет 20 единиц.)

Итак, есть два события O (уйти от стартовой стены) и P (прийти к конечной стене).

Соедините эти [временоподобные] события отрезком линии. Этот сегмент является мировой линией инерциального наблюдателя Эль, которая испытала и О, и Р, и этот наблюдатель назначит координаты положения [в ее системе отсчета]$x^{Elle}_O=0$и$x^{Elle}_P=0$.

Согласно лабораторной системе отсчета,
скорость этой системы отсчета равна наклону$v^{Lab}_{OP}=\displaystyle\frac{x^{Lab}_P-x^{Lab}_O}{t^{Lab}_P-t^{Lab}_O}=\frac{20}{25}=4/5$.

В системе отсчета Эль...
когда она начинает с события О, конец линии луча находится в точке$x^{Elle}_{O'}=12$единицы измерения.
(Примечание:$12=20/\gamma=20/(5/3)$... сокращение длины)
Когда она достигает конца луча в событии P, начало линии луча находится в точке$x^{Elle}_{P'}=-12$единицы измерения.
Эль говорит, что поездка заняла$15$единиц времени [собственное время* вдоль ее мировой линии]
(Примечание:$25=\gamma * 15= (5/3)15$... замедление времени),
и она заключает,
что линия луча имела скорость$v^{Elle}_{OP'}= \displaystyle\frac{x^{Elle}_{P'}-x^{Lab}_O}{t^{Lab}_{P'}-t^{Lab}_O}=\frac{-12}{15}=-4/5$.

(*Примечание: «собственное время» связано с мировой линией [а не просто с парой событий]; это как длина дуги вдоль кривой от одной точки до другой.)

ОБНОВЛЯТЬ:

Используя WolframAlpha с
(1-tanh(arccosh(3000/0.15)))*(скорость света) ,
я получаю (c - 37,4 см/с) как скорость для получения 15 см.

WolframAlpha: 3km*sqrt(1-((скорость+света-37,4*см/с)/(скорость+света))^2) дает 15 см.
С (c - (1 см/с) ) я получаю 2,45 см.
С (c - (1 фут/с) ) я получаю 13,53 см. Вероятно, они имели в виду «на 1 фут/с медленнее, чем c».

как определить кадр, в котором два события происходят в одном и том же месте?

Два события имеют одинаковые пространственные координаты.

Например, рассмотрим часы, покоящиеся в инерциальной системе координат. Событие, которое показывают часы$t=0$и событие, которое часы читают$t=1$два события, имеющие одинаковые пространственные координаты в этой системе. Таким образом, собственное время между двумя событиями — это просто прошедшее координатное время, заданное стационарными часами:$\tau = \Delta t = 1$.

Из любой другой инерциальной системы координат, движущейся относительно этой, прошедшее координатное время между двумя событиями больше:$\Delta t' > \Delta t$