Что означает система отсчета в терминах многообразий?

Примечания:

1. В следующем объяснении 4-мерное пространство-время$M$снабженные метрикой сигнатуры (3,1).

2. Есть несколько страниц Википедии, посвященных фреймам (иногда называемым тетрадами или вильбейнами) в GR. См., например, здесь , здесь и здесь

3. В главе 5 этих заметок есть очень хорошая вводная глава по этому вопросу : Р. Альдрованди и Дж. Г. Перейра.

Фрейм в ОТО означает набор из четырех векторных полей$\mathbf{e}_a: M \rightarrow TM$,$a=0, 1,2,3$удовлетворяющее уравнению связи:

$\mathbf{g} = \eta^{ab} \mathbf{e}_a \mathbf{e}_b$,

куда$\mathbf{g}$- обратный метрический тензор и$\eta^{ab}$— плоская лоренцева метрика.

Эти векторные поля можно рассматривать как отображение векторов координат некоторого заданного пространства Миковского через локальную систему координат в касательное пространство. С физической точки зрения мы связываем каждую такую ​​систему отсчета с локальным наблюдателем.

Теперь, в принципе, мы можем работать с компонентами векторных полей репера вместо метрики, но видно, что поля репера имеют 16 компонент, а метрика (из-за ее симметрии) имеет только 10 компонент. Эта избыточность связана с тем, что поля фрейма не уникальны и новый набор полей фрейма$\mathbf{e}^{\prime}_a$удовлетворяющий

$\mathbf{e}^{\prime}_a = M_a^b(x) \mathbf{e}_b$

удовлетворяет тому же ограничению, где$M_a^b(x)$является матрицей преобразования Лоренца (т.е. удовлетворяющей$M_a^b(x) M_c^d(x) \eta_{bd} = \eta_{ab}$)

Обратите внимание, что мы можем выбрать непостоянное преобразование Лоренца в зависимости от местоположения на многообразии, по этой причине эти преобразования называются локальными преобразованиями Лоренца.

Теперь проверяется количество измерений: 16 компонентов кадра = 10 метрических компонентов + 6 преобразований Лоренца в каждой точке.

Этот формализм может показаться просто заменой переменных, но это еще не все.

Во-первых, локальные преобразования Лоренца можно рассматривать как сечения главного$SO(3,1)$связать$M$(Этот пучок называется$SO(M, \mathbf{g})$. Таким образом, эта формулировка является формулировкой ОТО как калибровочной теории. Теперь, поскольку мы можем позволить локальным преобразованиям Лоренца зависеть от координат, этот формализм позволяет определить ускоряющие системы отсчета, просто предполагая, что локальные преобразования Лоренца зависят от времени.

Во-вторых, в стандартной формулировке ОТО классические поля можно определить как сечения расслоений, локальные преобразования которых являются функциями преобразования координат (диффеоморфизмов) базисного многообразия. Эти расслоения называются естественными расслоениями, например, преобразование координат касательного расслоения является матрицей Якоби преобразований координат базового многообразия. (Аналогично обратная матрица Якоби для кокасательного расслоения). Таким образом, стандартная формулировка ОТО позволяет определять векторные поля, тензорные поля и т. д., но не спинорные поля, которые очень важны в физике. Спинорные расслоения не являются естественными, но нет естественного способа определить общее преобразование координат спинорного поля при наличии диффеоморфизма базисного многообразия.

Однако если базовое многообразие$M$имеет спинорную структуру, то реперный формализм позволяет определить спинорные поля следующим образом:$M$вращается,$SO(M, \mathbf{g})$можно поднять до спинового расслоения$Spin(M, \mathbf{g})$, то спинорное расслоение — это ассоциированное расслоение, соответствующее фундаментальному спинорному представлению, а спинорные поля — это участки спинорного расслоения.

Это построение можно выполнить в локальных координатах следующим образом:

Во-первых, мы можем сформировать двойную рамку$\mathbf{e}^a: M \rightarrow T^{*}M$требуя:

$\langle \mathbf{e}^a, \mathbf{e}_b \rangle = \delta^a_b$

Двойной кадр можно использовать для определения компонентов кадра любого векторного поля.$\mathbf{V}$:

$V^a = \langle \mathbf{e}^a, \mathbf{V} \rangle$

И наоборот, можно сформировать «изогнутые» компоненты векторов, используя исходную систему координат. Например, рассмотрим матрицы Дирака$\{\gamma^a\}$порождение алгебры Клиффорда$Cl(3,1)$. Тогда их криволинейные компоненты определяются как:

$\gamma^{\mu} = \gamma^a e_a^{\mu}$

В более общем случае используется метрика$\mathbf{g}$для снижения «кривых индексов», обратная метрика для повышения «кривых индексов». и аналогично метрика Лоренца$\mathbf{\eta}$для плоских индексов. Один использует векторы репера и их двойник для замены изогнутых индексов плоскими индексами и наоборот.

Далее спиновое соединение

определяется как:

$\omega_{\mu}^{ab} = e^a_{\nu}(\partial_{\mu} e^{\nu b}+ e^{\sigma b}\Gamma^{\nu}_{\sigma \nu})$

куда,$\Gamma^{\nu}_{\sigma \nu}$это связь Леви-Чивиты.

Нетрудно убедиться (рассмотрев локальные преобразования Лоренца), что$\omega_{\mu}^{ab}\sigma_{ab}$это соединение на$Spin(M, \mathbf{g})$, куда$\sigma_{ab}$являются генераторами фундаментального спинорного представления.

1. Используя приведенные выше данные, полностью ковариантное уравнение Дирака на$M$принимает форму:

$-i \gamma^{\mu} D_{\mu} \psi + m \psi = 0$,

куда$D_{\mu}$- ковариантная производная, связанная со спиновой связью

$D_{\mu} = \partial_{\mu}-i\omega_{\mu}^{ab}\sigma_{ab}$

Таким образом, полностью ковариантное уравнение Дирака выглядит точно так же, как уравнение Дирака, связанное с калибровочным полем, заданным спиновой связью.

Классическими полями, где возможна такая конструкция, являются сечения расслоений, называемые «калибровочными натуральными расслоениями».

Важно отметить, что решение полностью ковариантного уравнения Дирака зависит от полей репера, но наблюдаемые величины, такие как, например, количество связанных состояний, зависят только от метрики.

Обновлять:

Поскольку локальные наблюдатели отождествляются с точками на слоях пучка реперов, то все системы отсчета инерционны, поскольку могут быть получены из действия преобразования Лоренца на одну систему отсчета (т. е. точку на слое). Параметрами преобразования Лоренца являются вектор скорости и ориентация системы отсчета. В уравнениях явно можно допустить переменные преобразования Лоренца, т. е. преобразования Лоренца, зависящие от локальных координат базового многообразия, в частности, от временной координаты. Теперь я разделю свой ответ на две части:

Частицы: предположим, что вектор четырех скоростей частицы, движущейся по геодезической, задается выражением$V^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d\tau}$, ($\tau$— любой параметр вдоль пути), то координаты кадра этого вектора:$V^a = e^a_{\mu} V^{\mu}$и компоненты скорости, измеряемые наблюдателем, движущимся со скоростью, определяемой матрицей Лоренца$M(x)$находятся$V^{\prime b} = M^b_a(x) V^a$. И снова переменная$M$указывает на ускорение кадра.

Поля: уравнения движения будут ковариантны по отношению к этим преобразованиям, потому что для сечений натуральных расслоений реперные векторы не фигурируют в уравнениях движения, а в случае калибровочных натуральных сечений, таких как спиноры, они (переменная Лоренца) преобразования будут выглядеть как калибровочные преобразования, а уравнения движения построены так, чтобы быть калибровочно-инвариантными. Таким образом, на уравнения движения не влияют локальные преобразования Лоренца, или, другими словами, физика выглядит одинаковой для всех наблюдателей, даже если они ускоряются.

Давид Бар Моше дал очень полный ответ на высоком уровне сложности как в математике, так и в физике. Если это точно соответствует потребностям ОП и других, кто читает эту страницу, это здорово. Я просто хотел бы попытаться ответить на вопрос ОП более простым языком.

GR не имеет глобальных систем отсчета, как SR. (Когда Дэвид Бар Моше говорит: «Система отсчета в ОТО означает…», он определяет не глобальную систему отсчета, а набор локальных систем отсчета, каждая из которых определена в своей точке.) Например, в СТО мы ожидаем, что сможем сказать, что в системе отсчета объекта А удаленный объект В имеет некоторую четко определенную скорость. В GR мы не можем этого сделать. Например, если A — наша галактика, а B — какая-то космологически далекая галактика, то не существует однозначно четко определенного способа определения скорости B в системе отсчета A. Мы можем сказать, что В движется относительно А, или мы можем сказать, что и А, и В покоятся, а пространство между ними расширяется. ОТО не говорит, что одно из этих словесных описаний следует предпочесть другому.

ОП спрашивает о диаграммах и атласах и о том, как они связаны с изменениями системы отсчета. Они не делают. Все интересные вопросы можно обсуждать, даже не имея дело с многообразием, для которого требуется более одной диаграммы. Например, в космологических моделях FRW вы можете покрыть все пространство-время одной картой, используя координаты$(t,x,y,z)$, и вы обычно делаете это таким образом, чтобы галактика, находящаяся в покое относительно хаббловского потока, имела постоянные x, y и z. Примером изменения координат может быть$t\rightarrow 2t$. В этом пространстве-времени нет понятия глобальной системы отсчета, и нет ничего, что играло бы роль усиления Лоренца, как это было бы в СТО. Если вы попытаетесь применить обычные уравнения преобразования Лоренца к$(t,x,y,z)$, вы получаете набор координат$(t',x',y',z')$которые совершенно действительны, но совершенно неинтересны физически, и вы не можете интерпретировать новые как систему отсчета, которая движется с определенной скоростью относительно некоторой системы отсчета, определяемой старыми.

Что касается вопроса ОП об ускорении по сравнению с неускорением, GR относительно агностичен в этом отношении. Однако нам нужно отличать кадры от координат. Любая плавная замена координат (диффеоморфизм) разрешена и не влияет на вид законов физики (уравнения поля Эйнштейна). Например, вы можете описать плоское пространство-время в ускоряющихся координатах, где кажется, что оно имеет гравитационное поле: http://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates . кадры наблюдателей, находящихся в свободном падении. В ОТО каркас лежащего на земле камня считается неинерционным, а каркас падающего камня — инерционным; это прямо противоположно тому, что мы сказали бы в ньютоновской физике.

Я хочу добавить свое личное понимание концепции системы отсчета.

В статьях:

• Мармо, Г., Прециози, Б. (2006). Структура пространства-времени: группы относительности. Международный журнал геометрических методов в современной физике, 03 (03), 591-603.
• Мармо, Г., Прециози, Б. (2005) Объективное существование и группы относительности. Симметрии в науке XI, 445-458.

в нем представлен подход к системам отсчета, который я нашел физически полезным.

По сути, система отсчета$\mathcal{R}$определяется как тензор (1,1) на пространственно-временном многообразии$\mathcal{M}$так что:

• оно имеет ранг один, т. е. оно разложимо как$\mathcal{R}=\theta\otimes T$, куда$\theta\in\Lambda^{1}(\mathcal{M})$а также$T\in\mathfrak{X}(\mathcal{M})$;

• это так, что$\theta(T)=1$.

В общей относительной постановке мы можем выбрать$T$быть похожим на время и$\theta$быть его двойной формой. Это достаточно близко к подходу с помощью триады.

Интегральные кривые$T$определяет мировые линии разных наблюдателей в$\mathcal{R}$.

Важно отметить, что касательное расслоение$T\mathcal{M}$из$\mathcal{M}$делится как:

где распределение времени$\mathcal{R}^{t}=span(T)$и распределение пространства$\mathcal{R}^{s}=Ker(\theta)$.

Это, в общем-то, только локальное расщепление, отражающее тот факт, что глобальных систем отсчета вообще нет.

Если мы имеем$\theta\wedge d\theta=0$тогда$\theta$порождает интегрируемое слоение (по теореме Фробениуса), а слои этого слоения являются локальными пространствами покоя системы отсчета.

Если к тому же$\theta=df$тогда система отсчета является синхронизируемой. Это означает взаимно однозначное соответствие между слоями пространственного слоения (локальными пространствами покоя) и параметром эволюции интегральных кривых$T$, таким образом, разные наблюдатели в этой системе отсчета обладают общим понятием Времени.

Можно говорить об ускоренной или инерциальной системе отсчета, выбирая различные векторные поля$T$.

Например, в пространстве-времени Минковского (глобальная) система отсчета:

Геодезические системы отсчета не имеют ускорения в том смысле, что векторное поле$T$, будучи геодезической, такова, что$a_{T}=\nabla_{T}T=0$, куда$a_{T}$поле вектора ускорения. Это не означает, что в неплоском пространстве-времени геодезическая система отсчета инерциальна, ведь если метрическая связь не плоская, то интегральные кривые геодезического векторного поля$T$не$\frac{d^{2}\gamma^{\mu}(\tau)}{d\tau^{2}}=0$, и, следовательно, не являются прямыми линиями.

Я знаю, что этот ответ не так ясен и глубок, как другие, тем не менее я думаю, что этот подход к системам отсчета может быть полезен, потому что он может использоваться в контекстах, отличных от общерелятивистского, в то время как формализм триады естественным образом привязан к общему относительность.

Для этой цели существует другой подход к системам отсчета как к структурам почти произведения, т.е. исходя из расщепления$T\mathcal{M}=\mathcal{R}^{t}\oplus\mathcal{R}^{s}$без использования тензорного поля$\mathcal{R}$, однако я не помню ссылок на это (может быть, это было что-то Д. Х. Дельпенич).

Наконец, я хочу добавить простое применение концепции системы отсчета в электродинамике, которое я нахожу очень интересным.

В классической теории электромагнетизма в пространстве-времени Минковского$\mathcal{M}$электромагнитное поле$F$рассматривается как кривизна$2$-форма отката$U(1)$-главное соединение на$\mathcal{M}$, то легко видеть, что выбор системы отсчета$\mathcal{R}=dx^{0}\otimes\partial_{x^{0}}$позволяет определить дифференциальную форму (электрическое поле):

Я считаю, что математическая терминология, эквивалентная инерциальной системе отсчета, — это «нормальные координаты» в точке$p$. То есть в ваших координатах метрика на$p$есть просто плоская метрика Минковского, и все первые производные метрики равны нулю при$p$. И наоборот, ускоренным кадром будут любые координаты, которые не являются нормальными.

Вероятно, имеется в виду рассмотрение отображения в систему отсчета ускоренного наблюдателя, обсуждавшееся, например, в гл. 13.6 Мизнера, Торна, Уилера, «Гравитация». Может быть, просто начать с рассмотрения системы координат, соответствующей движению с постоянным ускорением в гл. 26 Паули «Теория относительности» о гиперболическом движении.