Математическое сходство символов Кристоффеля и матриц Дирака?

Хорошо, я доберусь до этого немного позже, чем я изначально думал, но, надеюсь, все в порядке :)

Итак, давайте вернемся к первому уравнению, которое вы записали, но немного изменим его:

$$\begin{equation} \nabla = \partial + \Gamma \end{equation}$$

Теперь, если бы я вел курс GR на первом курсе, и кто-то показал мне это, я бы наорал на них, потому что, например,$\nabla \phi =\partial \phi$без символов Кристоффеля.

Однако, если мы хотим быть немного свободными с нашими обозначениями, тогда есть смысл, в котором это уравнение подходит. Мы просто должны сказать, что$\Gamma$не относится к символам Кристоффеля явно, а скорее представляет собой схематическое утверждение, говорящее о том, что существует соединительная часть ковариантной производной, которая зависит от представления объекта, на который действует ковариантная производная. Если объект является скаляром,$\Gamma=0$. Если объект является вектором, вы получаете обычные кристоффели. Если объект является тензором,$\Gamma$обозначает конкретную комбинацию кристоффелей, подходящую для этого тензора. Это так же, как писать$D_\mu=\partial_\mu+ig A_\mu$для теории Янга Миллса, строго говоря, вы не знаете, что$A_\mu$до тех пор, пока вы не узнаете представление объекта, на который действует ковариантная производная.

Имея это в виду, давайте переключимся на формализм Эйнштейна Картана. Вместо работы с метрикой$g_{\mu\nu}$и соответствующее соединение$\Gamma^\mu_{\rho\sigma}$в качестве наших переменных мы работаем с vielbein$e^a_\mu$и связанное с ним «спиновое соединение»$\omega^{ab}_\mu$. Vielbein определяется

$$\begin{equation} g_{\mu\nu} = \eta_{ab} e^a_\mu e^b_\nu \end{equation}$$

и у него есть много хороших свойств, о которых вы можете прочитать в другом месте. $\mu$index — стандартный индекс касательного пространства. Оба$e$и$\omega$как вы видите, пространственно-временные одноформенные формы. $a,b$индексы можно рассматривать как внутренние индексы, соответствующие внутренней группе Лоренца.

Главное, что есть аналог$\nabla$для объектов с локальными индексами Лоренца. Мы можем назвать это$D$, и мы можем написать аналогичное схематическое уравнение

$$\begin{equation} D = d + \omega \end{equation}$$

Этот формализм наиболее полезен при работе с формами (т. е. с объектами, которые могут иметь любое число локальных лоренцевских$a,b$индексы, но все индексы пространства-времени которых$\mu,\nu$являются (1) нижними и (2) полностью антисимметричными), поэтому$\Gamma$часть ковариантной производной выпадает. Поэтому я использовал внешнюю производную$d$вместо частичного$\partial$.

Этот$D$является ковариантной производной, действующей на локальные индексы Лоренца. Если я выполняю локальное преобразование Лоренца (которое, как говорится на банке, является локальной симметрией), эта ковариантная производная ведет себя как локальный тензор Лоренца.

Теперь, действуя на локальные скаляры Лоренца,$\omega=0$. Воздействуя на локальные векторы Лоренца, вы можете получить соответствующее выражение для$\omega$. Просто для ясности ковариантная производная действует на векторы Лоренца как

$$\begin{equation} D_\mu V^a = \partial_\mu V^a + \omega^{ab}_\mu V^a \end{equation}$$ где вы должны разработать компоненты $\omega^{ab}_\mu$.

Вы должны подозревать, что должна быть какая-то связь между компонентами$\omega$действующие на вектор Лоренца, и компоненты обычных символов Кристоффеля, которые являются связью, относящейся к действию на вектор пространства-времени. Действительно есть такая связь, это

$$\begin{equation} \omega^{ab}_\mu=e_\nu^a \partial_\mu e^{\nu,b} + e_\nu^a e^{\sigma b} \Gamma^\nu_{\sigma\mu} \end{equation}$$ ( $e$с верхним пространственно-временным индексом $e^\mu$является обратным репертуаром, т. е. матрицей, обратной исходному репертуару).

Теперь приятная вещь об этой производной$D$это непохоже$\nabla$, он может действовать на спиноры. Спинор не имеет индекса пространства-времени, но имеет 1 локальный индекс Лоренца, который живет в представлении спинора. В этом представлении

$$\begin{equation} D_\mu \psi = \partial_\mu \psi - \frac{i}{4}\omega^{ab}_\mu [\gamma^a,\gamma^b]\psi \end{equation}$$ Здесь $\omega^{ab}_\mu$та же $\omega^{ab}_\mu$использован выше. Фактор $-i/4$зависит от конкретных соглашений о гамма-матрице, которые вы использовали, я просто украл это из Википедии, поэтому я не знаю точного соглашения.

Итак, в схематическом обозначении$D=d+\omega$, мы видим$\omega^{spinor} = -\frac{i}{4}\omega^{ab}_\mu[\gamma^a,\gamma^b]$. (Возможно, это сбивает с толку$\omega^{spinor}$включает$\omega^{ab}_\mu$, но это цена использования схематичной/небрежной записи. Дело в том, что соединительный элемент$D$включает в себя$\Gamma$-подобный объект, когда$D$действует на локальные векторы Лоренца и включает$\gamma$матрицы, действующие на локальные лоренцевские спиноры).

Так что по крайней мере в одном смысле ваше исходное утверждение верно: существует связь между матрицами Кристоффеля и матрицами Дирака из-за разработки свойств ковариантных производных. Есть объект,$\omega$, который в различных представлениях сводится к (1) по существу символам Хрисоффеля или (2) к коммутатору матриц Дирака.