Метрика Шварцшильда: изменение координат соответствует изменению объекта?

Ваше наблюдение верно! Проблема в том, что, к сожалению, довольно часто остается необъясненным в учебниках по физике: единственная система координат на многообразии не определяет пространство-время . Часто координаты, полезные для вычислений в физике, даже не покрывают всего пространства, т. е. не везде определены на изучаемом объекте: Многообразие (пространство-время). Это относится к координатам Шварцшильда, а также к координатам Эддингтона-Финкельштейна.

В вашем конкретном случае действительно существует набор глобально определенных координат, известных как координаты Крускала-Секереса , но важно отметить, что это не обязательно должно быть возможно. Некоторые пространства просто не допускают глобальную диаграмму. Одним особенно простым примером является сфера,$S^2$. Самая «большая» карта, которую можно построить, — это карта, полученная «стереографической проекцией» (см. рисунок ниже) с одного из полюсов: ?)

Об этом можно сказать гораздо больше, потому что это связано с более крупной проблемой: доверие зависимых от координат выражений по сравнению с инвариантными объектами или локальные методы по сравнению с глобальными. Физики любят работать локально . Например, для физиков вполне нормально иметь дело с уравнениями, включающими «тензоры» с индексами, такими как знаменитые уравнения поля Эйнштейна.$G_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu}$. Они поставляются с правилами преобразования для переключения между различными системами координат, и с ними очень удобно иметь дело.

Исторически таков был подход первых дифференциальных геометров (таких как Леви-Чивита). Однако современное (математическое) понимание тензоров немного отличается: они понимаются как абстрактные объекты, которые не зависят ни от какой системы координат и не имеют привязанных к ним индексов. Только их компоненты (подумайте о векторных компонентах) при выражении в терминах — как мы видели, вообще говоря, только локально определенной — системы координат имеют индексы: например, тензор$\mathbf T$может быть выражено через местные координаты$\{e_i\}$как$\mathbf{T}=\sum_i T_i e_i$. Однако не точно определить $T_i$с$\mathbf T$. В настоящее время большинство математиков предпочитают работать с абстрактно определенными, независимыми от координат объектами, такими как$\mathbf T$. Причина, по которой физики продолжают работать с координатами, вероятно, заключается в сочетании (1) истории и (2) удобства: манипулировать компонентами тензора довольно легко, как это хорошо известно большинству из нас.

Однако, как вы правильно заметили, нужно позаботиться о том, чтобы не запутаться в том, что есть что: координаты показывают только одну из многих граней геометрических объектов, таких как многообразия или тензоры. Одно координатное выражение не определяет многообразие (хотя совокупность всех совместимых систем координат, вместе взятых, известная как атлас , фиксирует многообразие!).

Неправда, что в координатах Шварцшильда фотон не может пересечь горизонт. Тот факт, что координата$t\rightarrow\infty$не останавливает фотон, это просто координата, и вы можете легко установить аналогичные патологические координаты, например, для пространства-времени Минковского, где фотоны явно беспрепятственны.

Хорошая мысль о координатах Эддингтона-Финкельштейна, действительно кажется, что белая дыра появляется волшебным образом. Однако мы могли бы сделать это еще проще, используя координаты Шварцшильда: просто переинтерпретировать «будущее» направление времени (уравнения Эйнштейна не определяют, в каком направлении течет время). Это белая дыра в координатах Шварцшильда; и мы даже не изменили координаты или метрику! Вернемся к Эддингтону-Финкельштейну, действительно д'Инверно ($\S16.6$, смотрите также$\S17.2$) называет запаздывающую координату «решением, обращенным во времени». Я также рекомендую Kraus & Wilczek (1994,$\S2$), который касается другой системы координат, но с теми же качествами перекрестных членов, а также продвинутых и запаздывающих вариантов.