Что происходит с аргументом Паули (который говорит об отсутствии оператора времени) при применении к оператору XXX для некоторых простых систем?

Я не уверен, в чем именно состоит «аргумент Паули», потому что он ссылается на страницы в первом издании « Принципов квантовой механики» Дирака , которые не содержат ничего существенного для моего четвертого издания, но чаще всего говорят, что это ограниченность энергии снизу, запрещающая наивный оператор времени, а не дискретность.

Однако предлагаемый вами сценарий «частица на кольце» не так прост: пространство волновых функций на кольце можно наивно записать как$H = \{f\in L^2([0,2\pi],\mathrm{d}\phi)\mid f(0) = f(2\pi)\}$, т. е. все возможные квадратично-интегрируемые функции с периодическими граничными условиями. Умножение на «оператор положения»$\phi$, вы должны заметить, что$\phi$не сохраняет граничное условие :$(\phi f)(0) = (\phi f)(2\pi)$если и только если$f(0) = 0 = f(2\pi)$. Таким образом, либо у вас есть неестественное ограничение на исчезновение волновых функций в определенной точке, либо вы должны ослабить граничные условия для общей волновой функции (ни одно из них не имеет прямого физического смысла, поскольку значение в одной точке не изменяет плотность вероятности). Подробнее о том, где именно действует коммутационное соотношение, см. в этом моем ответе .

Дело здесь в том, что сами коммутационные соотношения содержат неограниченные операторы и являются довольно патологическими. Если они выполняются только на подмножестве пространства, которое не совпадает с плотной областью, в которой определены операторы, что может произойти, как и в случае частицы на кольце, тогда теорема Стоуна-фон Неймана не выполняется . и можно построить всевозможные контрпримеры.

Формально правильный способ сформулировать теорему Паули таков:

Если гамильтониан$H$ограничен снизу или имеет дискретную часть спектра, то нет оператора$T$такое, что соотношения Вейля

$$U(t)V(e) = \exp(-\mathrm{i}te)V(e)U(t)$$ для $U(t) = \exp(\mathrm{i}Ht),S(e) = \exp(\mathrm{i}Te)$держаться везде.

Это следует непосредственно из теоремы Стоуна — фон Неймана, поскольку унитарно эквивалентные операторы обязательно имеют один и тот же спектр, а каноническое представление соотношений Вейля имеет как непрерывные, так и неограниченные операторы. Это означает, что, хотя вы могли бы построить бесконечно малую версию оператора времени в некоторых случаях в некоторой части гильбертова пространства, вы не можете получить из них «ручную» версию CCR, соотношения Вейля. Чтобы увидеть, что отношения Вейля действительно физически необходимы для того, чтобы что-то было правильным «оператором времени», обратите внимание, что$U(t)V(e)U(-t) = \exp(-\mathrm{i}te)V(e)$на самом деле просто утверждение, что оператор перевода времени$U(-t)$сдвигает значение наблюдаемого времени на$t$.

Соотношения коммутации между операторами положения и импульса в квантовой механике действительны только тогда, когда действия любого из двух операторов содержатся в области определения оставшегося. В частности, у нас есть:

Кроме того, правила коммутации между временем и энергией не являются фактическими правилами коммутации, а скорее ориентировочными утверждениями, которые справедливы только в конкретных случаях.