Время как эрмитов оператор в квантовой механике

Время не является переменной в квантовой механике (КМ), это параметр — почти так же, как в классической (ньютоновской) механике.

Итак, если у вас есть гамильтониан, например, для гармонического осциллятора, у вас есть$\omega$как параметр, а также массы участвующих частиц, скажем$m$, и у вас также есть время — хотя это не то, что явно проявляется в гамильтониане (вспомните явную зависимость от времени из классической механики: скобки Пуассона, канонические преобразования и т. д. — на самом деле, вы могли бы получить ответ прямо из таких аргументов ).

В этом смысле, точно так же, как у вас нет «пары преобразования» между$m$а также$\omega$, у вас также нет одного между временем и энергией.

Что вы говорите, чтобы убедить себя, что$\omega \neq -i\, \partial_m$? Почему вы не можете использовать этот же аргумент для оправдания$E \neq -i\, \partial_t$? ;-)

Я думаю, что Роджер Пенроуз представляет собой прекрасную иллюстрацию того, как работает вся эта схема, в своей книге «Дорога к реальности: полное руководство по законам Вселенной» : см. главу 17.

Энергетический спектр ограничен снизу. Оператор времени противоречил бы теореме Стоуна – фон Неймана. Это не проблема. Все это означает, что у нас есть пределы точности часов в квантовой механике.

Время, в которое происходит событие, как и позиция, в которой оно происходит, является наблюдаемой. Как правило, QM требует, чтобы все наблюдаемые были герметическими операторами. Но QM на самом деле не строит оператора для времени.

Можно возразить, что поскольку пространство-время в КМ ньютоновское и время имеет в нем особый статус, то это исключение хорошо мотивировано. Однако относительность предполагает, что время следует понимать аналогично пространству. Это означает, что в релятивистской КМ либо время должно быть повышено до оператора, либо положение должно быть понижено в должности, чтобы его не понимали как наблюдаемую. Первой значимой релятивистской теорией КМ было уравнение Дирака, которое моделировало одиночный вращающийся электрон. Здесь он выбрал второй вариант: время понимается на той же основе, что и положение — не как операторы, а как координаты.

Это было хорошо для теории одной частицы, но проблемы снова возникают, когда мы пытаемся обобщить теорию Дирака на две частицы. Дайсон писал:

Уравнение Дирака для двух частиц такого рода больше не будет релятивистски инвариантным, если мы зададим каждой частице отдельное положение в пространстве, но в то же время. Чтобы избежать этого, Дирак построил многовременную теорию, в которой каждый электрон имеет свою собственную временную координату и удовлетворяет своему частному уравнению Дирака. Эта теория в принципе верна. Но это становится безнадежно сложным, когда создаются пары, и у вас есть уравнения с новыми координатами времени, которые внезапно появляются и исчезают.

Решение этой проблемы находится в КТП, где, следуя Фейнману, мы выбираем пространственно-подобные поверхности, между которыми мы оцениваем квантовую амплитуду на историях между ними - также известный как интеграл по путям; и тогда, следуя Швингеру, мы можем избавиться от проблематичных историй, переформулировав его как принцип действия, из которого, согласно Дайсону, просто выпадают основные черты КТП, например, коммутационные соотношения для полей.