Что происходит с временной составляющей метрики в уравнении Уилера-де-Витта?

Компоненты не выбрасываются. Когда вы переходите к нарезке 3+1,$00$и$0i$компоненты входят в функцию интервала и вектор сдвига. Промежуток времени обозначается много раз$N$и вектор сдвига$N^i$, хотя это не универсально. На странице, на которую вы ссылаетесь, как показано в настоящее время, просрочка$N$и сдвиг$\beta^i$.

Это общая особенность расщепления 3+1, не характерная для Уилера-ДеВитта. Он попадает в общую категорию формализма ADM. ( https://en.wikipedia.org/wiki/ADM_formalism )

РЕДАКТИРОВАТЬ

В ответ на комментарии я продолжу объяснение немного дальше, с оговоркой, что я подхожу к нему с классической стороны ОТО, а не с квантовой стороны.

Промежуток и сдвиг представляют вашу свободу выбора любой системы координат, которая вам нравится. Грубо говоря, интервал — это количество координатного времени, проходящего в единицу собственного времени по геодезической от среза к срезу. Сдвиг измеряет, насколько ваша координата меняется от среза к срезу, когда вы двигаетесь по геодезической. На любом отдельном срезе они не имеют большого значения.

В чисто классической ОТО есть четыре ограничения, связанные со свободой координат (обычно известной как калибровочная свобода). Одно гамильтоново ограничение, которое возникает из-за вариации относительно промежутка, и 3-векторное ограничение импульса, которое возникает из-за вариации относительно сдвига. Это, в частности,$H=0$и$P^i=0$. Те удовлетворяются на каждом временном отрезке. Сами по себе они не содержат промежутка и сдвига, если вы посмотрите их формулы, но промежуток и сдвиг все же имеют значение, потому что, если вы возьмете любой физический срез, который вам нравится, ограничения будут удовлетворены, и вы получите$H_{,t}=0$и$P^i_{,t}=0$поскольку это необходимые условия, при которых ограничения также выполняются на «следующем» срезе. Когда вы вычисляете эти производные по времени, промежутки времени и сдвиги вступают в силу.

Я не разрабатывал термины, поэтому кто-нибудь скажет мне, если я ошибаюсь, но я считаю, что то же самое должно быть верно и для уравнения Уилера-ДеВитта. Уравнение$\hat{H} \left| \psi \right> = 0$выполняется на любом срезе, который вам нравится, где вы указываете 3-метрику и срез как «начальное значение» для задачи вариационного исчисления. Затем вы должны быть в состоянии показать, что он продолжает удерживать будущие (или прошлые) срезы, вычисляя производные по времени, которые будут включать термины промежутка и сдвига.