Космология FLRW со скалярным полем: что такое фазовые переменные?

Question

Космология FLRW со скалярным полем: что такое фазовые переменные?

Чам

Я изучаю космологическую модель Фридмана-Лемэтра-Робертсона-Уокера (FLRW) с простым скалярным полем в качестве источника (без пылевидной материи, без излучения, без космологической постоянной). На данный момент поле является только скаляром Клейна-Гордона (КГ) с потенциалом $\mathcal{V}(\phi) = \frac{1}{2} \; m^2 \, \phi^2$ (позже я обобщу его на потенциал четвертой степени, используемый в теории инфляции).

Уравнения, которые мне нужно решить, следующие (уравнения FLRW и уравнение KG):

\begin{matrix} (1) & \frac{{\dot{а}}^{2}}{а^{2}} + \frac{к}{а^{2}} знак равно \frac{8 π грамм}{3} р, \\ (2) & \frac{\ddot{а}}{а} знак равно - \frac{4 π грамм}{3} (р + 3 п), \\ (3) & \ddot{ф} + 3 \frac{\dot{а}}{а} \dot{ф} + В^{'} знак равно 0. \end{matrix}

$\begin{gather} \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k}{a^2} = \frac{8 \pi G}{3} \; \rho,\tag{1} \\[12pt] \frac{\ddot{a}}{a} = -\, \frac{4 \pi G}{3} (\rho + 3 p), \tag{2} \\[12pt] \ddot{\phi} + 3 \frac{\dot{a}}{a} \; \dot{\phi} + \mathcal{V}^{\, \prime} = 0. \tag{3} \end{gather}$ Переменные

a (t)

$a(t)$ ,

ϕ (t)

$\phi(t)$ . Скалярная плотность поля и давление таковы:

\begin{matrix} (4) & р знак равно \frac{1}{2} {\dot{ф}}^{2} + В (ф), \\ (5) & п знак равно \frac{1}{2} {\dot{ф}}^{2} - В (ф) . \end{matrix}

$\begin{gather} \rho = \frac{1}{2} \; \dot{\phi}^2 + \mathcal{V}(\phi), \tag{4} \\[12pt] p = \frac{1}{2} \; \dot{\phi}^2 - \mathcal{V}(\phi). \tag{5} \end{gather}$ Начальные условия

ϕ (0) = ϕ_{0}

$\phi(0) = \phi_0$ а также

\partial_{t} ϕ |_{t = 0} = {\dot{ϕ}}_{0}

$\partial_t \, \phi \, |_{t = 0} = \dot{\phi}_0$ (два произвольных действительных числа) и массовый параметр

m

$m$ (произвольное положительное число). Для масштабного коэффициента я установил

a (0) = 1

$a(0) = 1$ . Так как скорость расширения при

t = 0

$t = 0$ является

H_{0} \equiv \frac{\dot{a}}{a} |_{t = 0}

$H_0 \equiv \frac{\dot{a}}{a} |_{t=0}$ ( постоянная Хаббла ), ее обратную можно использовать как единицу времени. Итак, я установил начальное условие

\dot{a} (0) = 1

$\dot{a}(0) = 1$ .

Теперь я мог численно решить уравнения (2) и (3), используя $\phi_0$ , $\dot{\phi}_0$ а также $m$ в качестве произвольного ввода, и нарисуйте красивую графику эволюции $a(t)$ а также $\phi(t)$ .

Теперь вопрос в том, какими должны быть надлежащие переменные для определения фазового пространства масштабного фактора и поля? В настоящее время я использую эти:

\begin{matrix} (6) & (а, \dot{а}), (ф, \dot{ф}) . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{6} \big(\, a, \; \dot{a} \big), \qquad \big( \, \phi, \; \dot{\phi} \big). \end{equation}$ Я подозреваю, что это должно быть что-то более сложное. От лагранжиана, что я тут не пишу(

p_{q} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

$p_q = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ канонический импульс , связанный с

q

$q$ переменная), я подозреваю, что правильные переменные, которые должны использоваться в диаграмме фазового пространства, вместо этого:

\begin{matrix} (7) & (а, - 6 а \dot{а}), (ф, а^{3} \dot{ф}) . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{7} \big(\, a, \; -\, 6 \, a \, \dot{a} \big), \qquad \big( \, \phi, \; a^3 \, \dot{\phi} \big). \end{equation}$ Но когда я рисую графики этих переменных, я получаю странные деформированные узоры, которые трудно масштабировать. Судя по всему, переменные (6) дают лучшие результаты (на них приятнее смотреть). Мне нужны советы по этому поводу.

РЕДАКТИРОВАТЬ: О космологии FLRW простого скалярного поля KG есть ли какие-либо документы, в которых обсуждаются результаты (численного интегрирования)? Я хотел бы сравнить свои результаты с чем-то, так как я никогда не видел обсуждения этой модели во всех книгах по общей теории относительности, которые у меня есть (за исключением обычных сценариев инфляции с приближениями медленного вращения или другими вариациями...).

Майкл Зайферт

В определенном смысле вы можете использовать любые координаты в фазовом пространстве, какие захотите. Только когда вы хотите использовать некоторые геометрические результаты, касающиеся движения в фазовом пространстве (в частности, теорему Лиувилля), становится легче работать с «правильными» координатами фазового пространства в терминах сопряженных импульсов.

Чам

@MichaelSeifert, значит, вы предполагаете, что переменные (6) достаточно хороши для отображения движения в фазовом пространстве?

Чам

Я нашел два документа о переменных фазового пространства в скалярной космологии, но они мне пока не ясны: arxiv.org/abs/1605.05995 и arxiv.org/abs/1309.2611 . Эти документы, как правило, подтверждают переменные (7) выше.

Ответы (1)

Космология FLRW со скалярным полем: что такое фазовые переменные?

В определенном смысле вы можете использовать любые координаты в фазовом пространстве, какие захотите. Только когда вы хотите использовать некоторые геометрические результаты, касающиеся движения в фазовом пространстве (в частности, теорему Лиувилля), становится легче работать с «правильными» координатами фазового пространства в терминах сопряженных импульсов.
@MichaelSeifert, значит, вы предполагаете, что переменные (6) достаточно хороши для отображения движения в фазовом пространстве?
Я нашел два документа о переменных фазового пространства в скалярной космологии, но они мне пока не ясны: arxiv.org/abs/1605.05995 и arxiv.org/abs/1309.2611 . Эти документы, как правило, подтверждают переменные (7) выше.

Джованни Аквавива · Answer 1

Я попытаюсь передать некоторые соображения относительно фазового пространства космологии скалярного поля, извлеченные из личного опыта, а также из ссылки https://arxiv.org/abs/1309.2611 , предоставленной @Someone, и комментария @Michael Seifert. Надеюсь, в то же время это также поможет ответить на вопрос.

Космология скалярного поля представляет собой автономную гамильтонову систему. Это означает, что:

система может быть описана функцией Гамильтона, не зависящей явно от временной координаты (она, очевидно, может зависеть от времени, но только через основные функции $a(t)$ , $\phi(t)$ и их производные);
Уравнения Гамильтона-Якоби воспроизводят уравнения Эйнштейна (уравнение Фридмана, по сути, представляет собой параметризованную форму поверхности постоянной энергии гамильтониана).

Хорошо известным свойством гамильтоновых систем является то, что они удовлетворяют теореме Лиувилля: объем области фазового пространства инвариантен относительно эволюции во времени . Эта теорема, в частности, говорит нам, что гамильтоново векторное поле, описывающее эволюцию траекторий в фазовом пространстве, не имеет расходимостей .. В терминах, более знакомых специалистам в области динамических систем, применяемых в космологии, это означает, что в фазовом пространстве нет ни источников, ни стоков. Однако в большинстве работ, появляющихся в литературе, мы слышим, как люди говорят о «прошлых или будущих аттракторных решениях», которые фактически являются точками в пространстве параметров, в которых траектории расходятся или сходятся. Учитывая, что система несомненно гамильтонова, как в этом случае наличие аттракторов совместимо с теоремой Лиувилля? Чего теорема, сформулированная выше, не уточняет, так это того, что для гамильтоновой системы нет источников и стоков в фазовом пространстве , если система выражается в канонических координатах .

Что касается вашего конкретного примера, то с чисто гамильтоновой точки зрения переменные в уравнении (7) являются каноническими в том смысле, что с учетом обобщенных координат $a$ а также $\phi$ , тогда $p_a=-6 a \dot{a}$ а также $p_{\phi}=a^3 \dot{\phi}$ являются их соответствующими сопряженными импульсами. Следовательно, фазовое пространство в координатах (7) не содержит стоков или источников. Однако переменные, заданные уравнением (6), не являются каноническими, и поэтому представление фазового пространства в этих координатах показывает наличие стоков и источников. Это не означает, что неканоническая система координат неверна: она просто скрывает часть гамильтоновости системы. В некоторых ситуациях может оказаться более полезным использовать неканоническую систему координат, поскольку физическая интерпретация состояний в фазовом пространстве может быть более прозрачной.

Космология FLRW со скалярным полем: что такое фазовые переменные?

Чам

Майкл Зайферт

Чам

Чам

Ответы (1)

Джованни Аквавива

Симплектическая структура общей теории относительности

Означает ли нынешнее ускорение Вселенной, что наша Вселенная открыта?

Значение параметра Хаббла с течением времени

Какое расстояние может пройти предмет по прямой?

Какова плотность неподвижной пылевой сферы в ускоряющейся Вселенной?

При красном смещении энергия теряется. Куда это идет? [дубликат]

Применимость зависящей от времени метрики для расширяющейся Вселенной

Координаты для метрики FLRW

Если пространство может расширяться быстрее света, почему не может гравитационная волна?

Вызвал ли Большой взрыв гравитационный толчок наружу?