Суммирование по топологиям

это важный вопрос, но доступные ответы не полностью соответствуют этой важности. Однако известно несколько фактов :

1. Прежде всего, вы упомянули об избыточности, возникающей из-за диффеоморфизмов. Конечно, любое вычисление интеграла по путям должно быть разделено на группу диффеоморфизмов, т. е. чтобы гарантировать, что каждый класс геометрий (или, в более общем случае, конфигураций), которые являются диф-эквивалентными (или, в более общем случае, калибровочными эквивалентами: диф-симметрия является вид калибровочной симметрии) учитываются только один раз. Для калибровочных симметрий мощным инструментом для этого является БРСТ-квантование с призраками Фаддеева-Попова (первоначально введенное Фейнманом). В супергравитации необходимо использовать его расширение с антипризраками и т. Д., Оно известно как формализм BV, который математически тяжелее и «более нелинейен», чем формализм BRST, поэтому только десятки людей в мире действительно могут использовать формализм BV.

2. В описании пертурбативной теории струн на мировом листе суммирование по топологиям четко определено и дает диаграммы Фейнмана возрастающего порядка в константе связи струны по мере увеличения количества «ручек» или уменьшения эйлерова характера многообразия. Причина, по которой это расширение с точки зрения метрики работает, заключается в том, что метрика в теории мирового листа является фундаментальной, точной степенью свободы, поэтому мы имеем дело с правильной теорией. Метрика действительна до произвольно коротких расстояний на мировом листе, потому что теория мирового листа инвариантна к масштабу (по крайней мере, на коротких расстояниях), поэтому, если метрика в порядке в одном масштабе, она должна быть правильной в любом масштабе.

3. В квантовой гравитации в 3+1 измерениях или выше (и я пропущу специальный 2+1-мерный случай, в котором нет физической поляризации гравитона, из-за чего все выглядит так, как будто все работает «автоматически», но на самом деле это не так, даже в этом случае, если он достаточно точен), метрический тензор не является фундаментальным объектом, который совершенно четко определен на любом масштабе длины. Вместо этого вблизи планковского масштаба (а иногда и более низкого масштаба, такого как струнный масштаб) он дополняется бесконечным множеством массивных полей, с которыми метрика может смешиваться и создавать нетривиальные топологические конфигурации, «связывающие» как метрику, так и другие степени свобода и др.

Квантовая гравитация — чрезвычайно ограниченная задача, и «квантование метрики» без каких-либо дополнительных степеней свободы и каких-либо сверхмощных механизмов просто не может дать непротиворечивую теорию всех порядков. По крайней мере, около 50 лет усилий, направленных на то, чтобы «нанести на карту ландшафт возможностей», как определить теорию квантовой гравитации, показывают, что рассматривать метрический тензор как правильную и единственную степень свободы в квантовой гравитации — это неверный путь. Таким образом, квантование метрики непротиворечиво только как приближение, которое говорит нам только о том, как гравитация создает определенный порядок в разложении по «силе гравитационного поля» — с порядком, измеряемым степенями$\hbar$. Однако любое изменение топологии неизбежно является непертурбативным эффектом, который гораздо более недоступен, чем вклад в 2 или 50 петель. Квантование общей теории относительности не может даже дать правильные, однозначные 2-петлевые вклады в эффективное действие и динамику (из-за хорошо известных неперенормируемых расходимостей). Поэтому, конечно, он также не может производить вклады различной топологии в эффективное действие, потому что они эквивалентны вкладам бесконечного множества петель.

В супергравитации неперенормируемые расходимости петель могут сокращаться при 2 петлях и могут появляться при$k$петли, где$k$(намного) больше 2. В$N=8$супергравитация в$d=4$, все пертурбативные расходимости, вероятно, сокращаются. Но непертурбативная физика по-прежнему противоречива, а спонтанное изменение топологии всегда является непертурбативным эффектом. Есть много способов увидеть, что лагранжиан супергравитации не может знать о непертурбативных эффектах. Например, его точная непрерывная исключительная некомпактная симметрия неверна; он должен быть разбит на свою дискретную группу квантовыми эффектами, такими как правило квантования Дирака, которое гарантирует, что различные электрические и магнитные заряды должны быть квантованы и принадлежать обратным решеткам (по отношению друг к другу). Так что даже$N=8$супергравитация сама по себе не в состоянии рассчитать влияние историй, меняющих топологию.

Люди размышляли о многих явлениях, которые могла бы вызвать квантовая гравитация, если бы ее можно было выразить в виде интеграла по траекториям, из-за суммирования по топологиям. В частности, можно в общем случае суммировать пространство-время, которое всегда имеет несколько крошечных ручек или червоточин: эта картина типичного вклада в интеграл по траекториям, представленная Уилером, называется квантовой формой. Более того, в литературе также описывалось расщепление и повторное соединение «детских вселенных», и предполагалось, что они могут повторно регулировать значения констант связи.

Но я не буду упоминать ни одну статью (за одним исключением ниже), потому что не существует такой статьи, которая привела бы к какому-либо убедительному расчету чего бы то ни было. В значительной степени установлено, что непротиворечивая теория квантовой гравитации не может быть определена так, как вы (и другие) предложили. И многие картины, полученные из единственной имеющейся у нас непротиворечивой теории квантовой гравитации, струнной/М-теории, указывают на то, что картина суммирования по многим топологиям неадекватна. В каком-то неопределенном смысле новые явления, которые должны существовать в функционирующей теории квантовой гравитации, делают пространство-время на коротких расстояниях более мирным и де-факто устраняют вклад нетривиальных топологий.

Ну, это не может быть на 100% точным описанием, и я все же упомяну одну статью Икбала, Некрасова, Окунькова и Вафы.

http://arxiv.org/abs/hep-th/0312022

В топологической теории струн, которую можно рассматривать как усечение спектра полной теории струн, где разрешены только специальные «голоморфные» состояния (что удаляет большую часть динамических состояний из объема), верно, что весь путь интеграл — или статистическая сумма — может быть записан как сумма по всем топологиям многообразий Калаби-Яу. Так что, по крайней мере, в этом ограниченном контексте, четко определенные наблюдаемые — суммы разбиений системы, которую также можно определить как плавящийся кристалл, — можно вычислить путем суммирования бесконечного множества топологий 6-мерных геометрий (что выше, чем 2-мерные). те).

Однако ни в каких «физических» теориях квантовой гравитации с динамическими гравитонами — в теориях, действительно содержащих гравитационные притяжение (где объекты имеют переменный импульс). Таким образом, на данный момент, безусловно, выглядит так, что метрический тензор — это просто «эффективная» степень свободы, и эта степень свободы может использоваться только для задач на расстояниях, намного превышающих планковскую длину. В частности, с использованием этого метрического тензора можно выполнять вычисления только до фиксированного числа квантовых петель — обычно 0 или 1 (классический предел и полуклассические вычисления).

Нетривиальные топологии, которые не включают какую-либо кривизну с радиусом кривизны, сравнимым или меньшим масштаба Планка, становятся неуместными в этой картине, потому что они подавляются чем-то вроде$\exp(-A/A_{Planck})$куда$A$являются типичными$(D-2)$-мерные области «ручек», модифицирующих топологию. Излишне говорить, потому что$A_{Planck}$это крошечная область, экспонента равна нулю для всех практических (и большинства непрактичных) целей. Экспоненциально подавленный член намного меньше, чем многие другие члены, которые уже невозможно вычислить.

Некоторые из приведенных выше ответов могут быть изменены в будущем, и отсутствие такого интегрального описания пути с новыми топологиями иногда может быть связано с нашим нынешним невежеством. Вполне вероятно, что существует пространственно-временной интегральный подход с различными топологиями; остается загадкой, как такое описание может когда-либо согласовываться с голографическим принципом (который говорит, что энтропия в конечной области конечна и ограничена поверхностью). Однако кажется почти гарантированным, что такое гипотетическое описание также будет включать множество других — возможно, динамически сгенерированных — степеней свободы помимо метрики. Отсутствие «чистой гравитации». в более чем 3+1 измерениях кажется утверждением с большим количеством косвенных доказательств — утверждением, не зависящим от какого-либо конкретного описания — и вряд ли это связано с отсутствием у нас воображения. Кажется, это побочный продукт исследований квантовой гравитации.

Когда исследование становится действительно глубоким, люди иногда обнаруживают, что некоторые из их основных предположений — или «догм» — на самом деле неверны. Возможность определить квантовую гравитацию в терминах «только метрического тензора» кажется примером такого донаучного суеверия.

С наилучшими пожеланиями Любош