Что такое ΔtΔt\Delta t в принципе неопределенности время-энергия?

Question

Что такое ΔtΔt\Delta t в принципе неопределенности время-энергия?

время
энергия
Физика
квантовая механика
Гейзенберг-принцип-неопределенности

Бродяга

В нерелятивистской КМ $\Delta E$ в принципе неопределенности время-энергия является предельным стандартным отклонением набора измерений энергии $n$ идентично подготовленные системы, как $n$ уходит в бесконечность. Что это $\Delta t$ значит, так как $t$ даже не наблюдаемый?

Космас Захос

Хорошее объяснение Баэза

Нанаси Но Гомбе

Первая работа, строго сформулировавшая эту проблему, принадлежит Мандельштаму и Тамму .

Ответы (8)

Что такое ΔtΔt\Delta t в принципе неопределенности время-энергия?

Первая работа, строго сформулировавшая эту проблему, принадлежит Мандельштаму и Тамму .

джошфизика · Answer 1

Пусть квантовая система с гамильтонианом $H$ быть данным. Предположим, что система находится в чистом состоянии $|\psi(t)\rangle$ определяется гамильтоновой эволюцией. Для любого наблюдаемого $\Omega$ мы используем сокращение

⟨ Ом ⟩ знак равно ⟨ ψ (т) | Ом | ψ (т) ⟩ .

$\langle \Omega \rangle = \langle \psi(t)|\Omega|\psi(t)\rangle.$ Можно показать, что (см. уравнение 3.72 в Griffiths QM)

о_{ЧАС} о_{Ом} \geq \frac{ℏ}{2} | \frac{д ⟨ Ом ⟩}{д т} |

$\sigma_H\sigma_\Omega\geq\frac{\hbar}{2}\left|\frac{d\langle \Omega\rangle}{dt}\right|$ куда

σ_{H}

$\sigma_H$ а также

σ_{Ω}

$\sigma_\Omega$ стандартные отклонения

о_{ЧАС}^{2} знак равно ⟨ {ЧАС}^{2} ⟩ - ⟨ ЧАС ⟩^{2}, о_{Ом}^{2} знак равно ⟨ {Ом}^{2} ⟩ - ⟨ Ом ⟩^{2}

$\sigma_H^2 = \langle H^2\rangle-\langle H\rangle^2, \qquad \sigma_\Omega^2 = \langle \Omega^2\rangle-\langle \Omega\rangle^2$ а угловые скобки означают ожидание в

| ψ (t) ⟩

$|\psi(t)\rangle$ . Отсюда следует, что если мы определим

Δ Е знак равно о_{ЧАС}, Δ т знак равно \frac{о_{Ом}}{| д ⟨ Ом ⟩ / д т |}

$\Delta E = \sigma_H, \qquad \Delta t = \frac{\sigma_\Omega}{|d\langle\Omega\rangle/dt|}$ то получим искомое соотношение неопределенностей

Δ Е Δ т \geq \frac{ℏ}{2}

$\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$ Остается интерпретировать величину

Δ t

$\Delta t$ . Он сообщает вам приблизительное количество времени, которое требуется для изменения ожидаемого значения наблюдаемой величины на стандартное отклонение при условии, что система находится в чистом состоянии. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что если

Δ t

$\Delta t$ мала, то за время

Δ t

$\Delta t$ у нас есть

| Δ ⟨ Ом ⟩ | знак равно | \int_{т}^{т + Δ т} \frac{д ⟨ Ом ⟩}{д т} д т | \approx | \frac{д ⟨ Ом ⟩}{д т} Δ т | знак равно | \frac{д ⟨ Ом ⟩}{д т} | Δ т знак равно о_{Ом}

$|\Delta\langle\Omega\rangle| =\left|\int_t^{t+\Delta t} \frac{d\langle \Omega\rangle}{dt}\,dt\right| \approx \left|\frac{d\langle \Omega\rangle}{dt}\Delta t\right| = \left|\frac{d\langle \Omega\rangle}{dt}\right|\Delta t = \sigma_\Omega$

Что произойдет, если стандартное отклонение наблюдаемого само по себе является функцией времени? Тогда мы не можем утверждать, что это время, затрачиваемое на ожидание изменения на одну sd, поскольку sd тоже является функцией времени.
@user157588 user157588 Конечно, можешь. В этом нет ничего плохого $\Delta t$ в зависимости от времени.
@joshphysics Но не с твоими рассуждениями.
@joshphysics: Потому что Гриффитс говорит: «Предположим, что $Q$ не зависит явно от $t$ '' (п. $113$ , издание 1995 г.).
Обратите внимание, также на веб-странице Джона Баэза появляется $⟨ [А, ЧАС] ⟩ знак равно \frac{д}{д т} ⟨ А ⟩,$ $\langle[A,H]\rangle = \frac{d}{dt}\langle A \rangle,$ что верно тогда и только тогда, когда $\langle \partial A/ \partial t\rangle = 0$ .
@Dog_69 Зависимость от времени, о которой я говорил, когда говорил, что в этом нет ничего плохого $\Delta t$ зависимость от времени — это не зависимость от времени, исходящая от самого наблюдаемого. Это зависимость от времени, происходящая от состояния, развивающегося в соответствии с эволюцией Шредингера, что приводит к тому, что и его математическое ожидание, и стандартное отклонение зависят от времени.
@joshphysics: О да, ты совершенно прав. Я неправильно понял комментарий МО. Я сею временную зависимость от $A$ а я думал он просит $\langle\partial A \partial t \rangle$ , но я был неправ. Мои извинения. Моя вина .
Я думаю, вы получили правильный результат, но это не тот результат, который люди имеют в виду, когда говорят о неопределенности энергия-время. Скорее, последнее похоже на частотно-временную неопределенность и является ее результатом.
@AndrewSteane По своему опыту я согласен с тем, что кажется, что существует разрыв между этим математическим результатом и распространенным использованием фразы «принцип неопределенности энергии-времени». Однако я никогда не углублялся в литературу достаточно глубоко, чтобы убедиться, что то, что люди подразумевают под этим принципом, можно в общем случае формализовать так, чтобы оно математически вытекало из эволюции Шредингера. В основном я сталкивался с этим таким образом, что это выглядело почти как физическая эвристика, но это может быть невежество. Приятно иметь формально правильный результат, на который можно положиться и который легко интерпретируется.
Я несколько не уверен, как здесь хорошо мотивировано определение неопределенности во времени? Как мы обосновываем форму дисперсии наблюдаемой $\Omega$ ?
@joshphysics Я думаю, можно провести лучший анализ? Я имею в виду, что принципы неопределенности обычно представляют собой утверждение об измерении. Но здесь вы используете уравнения движения Гейзенберга (которые основаны на унитарной эволюции) ... Далее вы также интегрируете, но мы знаем, что измерение прерывисто, поэтому я не уверен, что это будет интуитивное определение .... Пожалуйста, обновите ваш ответ в свете моего комментария
это утверждение, что $\Delta t$ является ли « количество времени, которое требуется для изменения ожидаемого значения наблюдаемой величины на стандартное отклонение при условии, что система находится в чистом состоянии », точным? Это верно только до тех пор, пока линейное приближение, которое вы делаете, выполняется для (обычно не бесконечно малого) времени, которое требуется для $\langle\Omega\rangle$ изменить модуль на $\sigma_\Omega$ . Есть ли основания думать, что это верно в целом? Другими словами, утверждение верно при условии , что $\partial_t\langle\Omega\rangle$ можно считать постоянным в течение этого времени
@glS Обратите внимание, что вы немного неправильно процитировали - отсутствует «приблизительно». Также обратите внимание, что в последней строке вычислений есть волнистый знак равенства, подтверждающий линеаризацию, на которую вы ссылаетесь.
@joshphysics Я вижу, что это приближение. Мне интересно, есть ли основания полагать, что это приближение оправдано. Если интеграл вообще не близок к своей линеаризации (что вполне может случиться, если время, необходимое для изменения expval на стандартное отклонение, не мало), то утверждение, которое мы можем интерпретировать $\Delta t$ , даже приблизительно, как вы говорите, может быть несостоятельным. Может быть, можно привести аргумент, что приближение выполняется в предположении, что $\partial_t\langle\Omega\rangle$ однако достаточно медленно меняется во времени.
@glS Я согласен с тем, что вы должны быть осторожны с тем, какую степень приближения вы делаете в зависимости от того, насколько быстро подынтегральная функция меняется во времени. На самом деле существует версия этой трактовки принципа неопределенности энергии-времени, принадлежащая Мандельштаму и Тамму, которая определяет $\Delta t$ таким образом, чтобы при интерпретации не возникало таких проблем - возможно, я добавлю это в этот пост. А пока вы можете сами взглянуть на это в их газете. Это связано в комментариях с исходным вопросом.
@joshphysics да, я знаю о квантовых ограничениях скорости а-ля Мандельштам и Тамм и их вариациях, но мне нравится этот способ интерпретации отношения неопределенности времени и энергии, мне было просто любопытно, есть ли способ сделать эту интерпретацию во всех случаях / указав, что вы, вероятно, не можете
@joshphysics, есть идеи, каким может быть член ошибки, связанный с приближением?
@MoreAnonymous Это отличный вопрос, который я никогда не рассматривал, как ни странно (вероятно, потому, что я никогда не использовал его на практике, а только как концептуальный инструмент для понимания последствий квантовой механики). Мне сейчас любопытно, и если я что-то найду, я дам вам знать. Есть статья, в которой это может обсуждаться под названием «Математический анализ принципа неопределенности энергии-времени Мандельштама-Тамма» Грея и Фогта, но я не читал ее подробно, поэтому в данный момент я не уверен.
@joshphysics Мои ресурсы ограничены, так как я в настоящее время не связан с университетом «Математический анализ принципа неопределенности времени-энергии Мандельштама-Тамма». Однако эта пауза позволила мне создать свой собственный вывод принципа неопределенности, и мне удалось кое-что, что действительно позволяет мне говорить о времени «хорошо» и «проницательно». Знаете ли вы какой-либо термодинамический вывод этого принципа? (Я гуглил, но безуспешно) У меня возникает соблазн опубликовать свой ответ, и у меня есть друг, чтобы проверить его :)
Это отличный ответ. Предложение: я думаю, что было бы еще более информативно, если бы мы указали, что это одно из понятий соотношения неопределенности время-энергия, и есть и другие понятия. Тот факт, что существует более одного понятия этого HUP, происходит из-за отсутствия удовлетворительного оператора времени, который обычно давал бы прямое значение и вывод.
@doublefelix, не могли бы вы дать нам несколько ссылок на это?
Прочтите «Время в квантовой теории и соотношение неопределенностей для времени и энергии» Ааронова и Бома (1961), чтобы узнать о соотношении неопределенностей. Что касается оператора времени, являющегося проблемой, я знаю два «доказательства невозможности». Самую популярную из них часто называют теоремой Паули, поскольку Паули написал ее ранний вариант; Я думаю, вы можете поискать в Google, но также вы можете найти современную, улучшенную, но более техническую версию в книге Шриниваса «Время возникновения» в квантовой механике (1981), Pramana, Vol. 16, стр. 173-199.
Второе «доказательство невозможности» принадлежит Олкоку в этой статье: sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0003491669902516 , на странице 264, абзац, начинающийся со слов «читатель может возразить». В еще более общем виде это показывает, что существует проблема даже с набором ортонормированных собственных функций времени, что исключает оператор времени и многое другое. В прошлый раз, когда я читал доказательство, я усомнился в одном из шагов, включающем расширение $\psi$ только в собственных состояниях с положительным импульсом, но вполне вероятно, что я что-то упустил.

Никос М. · Answer 2

Соотношение неопределенностей время-энергия (и другие «наблюдаемые» соотношения неопределенностей времени, которые могут быть построены) (считается) не имеют того же значения, что и канонические соотношения неопределенностей . Имеются в виду отношения неопределенностей, построенные из канонических динамических переменных/наблюдаемых (в гамильтоновом смысле), таких как положение и импульс, поскольку временной параметр не является наблюдаемой, а также не является оператором в формализмах КМ/КТП.

На самом деле существуют различные подходы и интерпретации времени-энергетической неопределенности. Например:

Энергорассеивание ( $\Delta E$ ) состояния и времени жизни ( $\Delta t$ или же $\tau_s$ ) самого государства.
Обмен энергией ( $\Delta E$ ) и срок ( $\Delta t$ ), в течение которого это может произойти.
Измерение энергии ( $\Delta E$ ) и время ( $\Delta t$ ) это необходимо для точности (хотя это строго оспаривается, см. ниже)
..другие аналогичные или специализированные составы вышеперечисленных

В Л. Мандельштам и И. Тамм, "Соотношение неопределенностей между энергией и временем в нерелятивистской квантовой механике", J Phys (СССР) 1945, они показывают, как можно вывести наблюдаемые во времени соотношения неопределенностей для любых наблюдаемых $A$ с

Δ т знак равно т_{А} знак равно \frac{Δ А}{д ⟨ А ⟩ / д т}

$\Delta t = \tau_A = \frac{\Delta A}{d\left<A\right> /dt}$

Неопределенность времени и времени-энергии широко используется в (квантовой/смешанной) статистической механике систем, поскольку она связывает период полураспада и время жизни состояний и переходов (придется найти некоторые ссылки)

Анализ различных формулировок соотношений неопределенностей время-энергия можно найти в:

Ян Хильгеворд, Принцип неопределенности для энергии и времени I

а также

Ян Хильгеворд, Принцип неопределенности для энергии и времени II

Резюме:

Принцип неопределенности для энергии и времени не является каноническим соотношением неопределенностей, потому что он не основан/не произведен каноническими гамильтоновыми переменными, вместо этого он выражает дисперсию и время жизни состояния. Происходит путаница декартова пространства-времени $x, t$ (используются как параметры), а также канонические положение и импульсы ( $q, p$ ), которые являются функциями этих параметров (хотя в некоторых случаях они могут быть простыми, например $q=x$ )

Майкл · Answer 3

Отношение неопределенности время-энергия имеет другую интерпретацию и вывод, чем отношение неопределенности для некоммутирующих операторов. Попробуйте найти объяснение у Джона Баэза , но, грубо говоря, $\delta t$ измеряет время, необходимое для заметного изменения ожидаемого значения некоторого оператора.

Ссылка полезна, но в основном это ответ только по ссылке. Ответ Джошфизики дал автономное представление содержания страницы Баэза.

pppqqq · Answer 4

В дополнение к точному ответу Джошфизики давайте упомянем еще одну интерпретацию (ту, которую, я думаю, Бен Кроуэлл имеет в виду в своем комментарии к тому же ответу).

Существует формула из теории возмущений, зависящих от времени, которая дает вероятность индуцированного перехода из начального состояния $\lvert i \rangle$ до конечного состояния $\lvert f \rangle$ с разницей энергии $\hbar \omega_{if}$ . Предполагается, что переход вызван гармоническим возмущением:

В знак равно В е^{я ю т} + В^{†} е^{- я ю т},

$V=\cal Ve^{i\omega t}+\cal V ^\dagger e^{-i\omega t},$ и формула гласит для поглощения, т.е. перехода на более высокий энергетический уровень:

п_{я \to ф} (т; ю) знак равно \frac{| В_{ф я} |^{2}}{ℏ^{2}} \frac{{грех}^{2} (\frac{ю_{ф я} - ю}{2} т)}{(\frac{ю_{ф я} - ю}{2})^{2}} .

$P_{i\to f}(t;\omega)=\dfrac{\lvert \cal V _{fi} \rvert ^2}{\hbar ^2}\dfrac{\sin ^2(\frac{\omega _{fi}-\omega}{2}t)}{(\frac{\omega _{fi}-\omega}{2})^2}.$

В зависимости от $t$ для фиксированного $\omega$ , вероятность растет квадратично для малых $t$ , достигает максимума при $t$ предоставлено:

\frac{| ю_{ф я} - ю |}{2} т знак равно \frac{π}{2},

$\frac{\lvert \omega _{fi}-\omega \rvert}{2}t=\frac {\pi} {2},$ то есть:

т Δ Е знак равно \frac{час}{2},

$t\Delta E =\frac {h}{2},$ куда

Δ Е знак равно | Е_{ф} - Е_{я} - ℏ ю | .

$\Delta E = \lvert E_f -E_i -\hbar \omega \rvert.$

Предположим, что я пытаюсь вызвать переход между двумя энергетическими уровнями. $i,f$ атома, послав на него некоторое излучение с частотой $\omega$ . затем $\Delta t$ - это порядок требуемой длины взаимодействия, чтобы иметь постоянную вероятность перехода (обратите внимание, что приведенная выше формула для $P_{i\to f}$ имеет смысл в $t=t_{\text{max}}$ только если $|V _{fi}|\ll \Delta E$ ).

Вместо исправления $\omega$ , мы могли бы представить, чтобы зафиксировать время взаимодействия $\Delta t$ . Опять же, приведенная выше формула для $P_{i\to f}$ говорит, что у нас есть постоянная вероятность того, что переход произойдет, если $\Delta E \ll \frac{h} {\Delta t}$ . Поэтому, если мы хотим определить $E_f -E_i$ достаточно точно, варьируя $\omega$ и видя, происходит ли переход или нет, мы должны иметь большое $\Delta t$ .

Здесь я рассматриваю переход между двумя различными уровнями и предполагаю, что спектр является дискретным в физическом смысле, то есть $|E_f'-E_i-(E_f-E_i)|$ для каждого второго уровня $f'$ намного больше, чем экспериментальная неопределенность $\hbar \omega$ . Если бы это было не так, то следовало бы рассматривать переход не в одно конечное состояние, а в группу $[f]$ конечных состояний. Правильный способ сделать это — использовать золотое правило Ферми, которое обсуждается во всех хороших книгах по квантовой механике (см., например , Сакураи или Гриффитса , также для получения приведенной выше формулы).

JKL · Answer 5

До сих пор были даны хорошие ответы. Давайте посмотрим на это с другой точки зрения:

Подумайте о двух электронах, очень кратко взаимодействующих друг с другом. Это взаимодействие происходит посредством обмена энергией, и, скажем, это количество $\Delta E$ . Время $\Delta T$ в пределах которого эта энергия должна быть обменена между двумя электронами, имеет предел и диктуется принципом неопределенности Гейзенберга. Чем выше количество обмениваемой энергии, тем меньше времени требуется для ее обмена. Природа позаботилась об этом, электроны просто делают то, что должны делать; они обмениваются энергией «по правилам».

Точно так же свободный фотон несет некоторое количество энергии $E=hf$ . Это также имеет смысл принципа неопределенности Гейзенберга, если вы запишете его в форме $E\times T=h$ , поскольку $f=1/T$ . Это количество энергии будет перенесено фотоном на расстояние в одну длину волны. $\lambda =c/f$ , за время не большее и не меньшее, чем период его волны вероятности. Это также применимо, когда мы взаимодействуем с природой во время измерения, как было упомянуто другими респондентами. Природа очень стремится оптимизировать свои действия, она не расточительна. Хороший вопрос: почему $h$ такой же маленький? Что определяет его ценность? Я не знаю ни одного объекта, который мог бы произвести это число, кроме экспериментально измеренного.

Миша · Answer 6

Смысл почти такой же, как и для неопределенности координаты-импульса. В дополнение к тому, что написал Джошфизик, я хотел бы подчеркнуть, что стационарное решение нестационарного уравнения Шредингера есть $\vert \psi \rangle \sim e^{i \frac{E}{\hbar}t}$ . Если вы хотите измерить энергию, вы должны каким-то образом проследить эволюцию этой волновой функции во времени. Чтобы точно измерить энергию, вы должны измерять ее в течение бесконечного времени. Если время измерения ограничено, энергия не определена.

Технически это сложнее, чем обычно $\Delta t$ не время измерения, а время некоторого процесса, результаты которого вы измеряете. Однако основная идея так проста.

Чам · Answer 7

Вот еще одна интерпретация отношения $\Delta t \, \Delta E \ge \frac{\hbar}{2}$ .

У вас есть классическая система, описанная лагранжианом $L = \dot{q} \, p - H$ , куда $H$ является гамильтонианом, который, как предполагается, не зависит от времени. Действие системы

\begin{matrix} (1) & С знак равно \int_{т_{1}}^{т_{2}} л д т знак равно \int_{д_{1}}^{д_{2}} п д д - Е Δ т знак равно С_{п} + С_{Е} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} S = \int_{t_1}^{t_2} L \, dt = \int_{q_1}^{q_2} p \, dq - E \, \Delta t = S_p + S_E. \end{equation}$ Теперь рассмотрим произвольную вариацию классического пути. Затем действие изменится на следующую величину (теперь я уверен, что делать с первой частью, которая должна дать другое соотношение Гейзенберга:

Δ q Δ p \geq \frac{ℏ}{2}

$\Delta q \; \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$ ):

\begin{matrix} (2) & дельта С_{Е} знак равно - дельта Е Δ т . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} \delta S_E = -\: \delta E \, \Delta t. \end{equation}$ Постулируется, что любая вариация, изменяющая действие на величину менее $\frac{\hbar}{2}$ не может быть наблюдаемым . Это похоже на минимальную ячейку фазового пространства в статистической механике, для которой

Δ q_{min} Δ p_{min} \sim h \equiv 2 π ℏ

$\Delta q_{\text{min}} \, \Delta p_{\text{min}} \sim h \equiv 2 \pi \hbar$ . Таким образом, для наблюдаемых процессов имеем

| δ S_{E} | \geq \frac{ℏ}{2}

$|\, \delta S_E | \ge \frac{\hbar}{2}$ , откуда следует соотношение

\begin{matrix} (3) & Δ т дельта Е \geq \frac{ℏ}{2} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{3} \Delta t \; \delta E \ge \frac{\hbar}{2}. \end{equation}$ Здесь,

Δ t \equiv t_{2} - t_{1}

$\Delta t \equiv t_2 - t_1$ это просто временной интервал, который определяет границу действия (1) выше. Это классический «обычный» интервал времени.

δ E

$\delta E$ это величина изменения энергии, которую вы могли бы получить по сравнению с классическим значением в течение этого временного интервала. Если

Δ t

$\Delta t$ большой, то

δ E

$\delta E$ должно быть низким (допускаются лишь небольшие отклонения от классического движения).

Этот «вывод» очень груб и уж точно не строг.

Ваше последнее утверждение как раз и исключается соотношением неопределенностей. Так что это неправильно.

ТМС · Answer 8

ТМС

В дополнение к тому, что упомянуто в ссылке @Michael, один из лучших способов подумать о следующем:

Чем больше времени вы потратите на измерение вашего эксперимента (при этом стандартное отклонение станет меньше), тем точнее вы измерите энергию этой системы.

PS Эта интерпретация широко используется в русских учебниках.

М. Цзэн

извините, я немного смущен этой интерпретацией. Что именно это означает, тратя больше времени на измерение эксперимента? Чтобы рассчитать стандартное отклонение, нам нужно измерить различные возможные результаты, используя одинаково подготовленные системы, и вычислить соответствующие вероятности.

dmckee --- котенок экс-модератор

Хотя верно то, что эксперименты, в которых преобладают статистические ошибки, показывают улучшение точности с течением времени, это улучшение происходит постепенно.

1 / \sqrt{t}

$1/\sqrt{t}$ , не по

1 / t

$1/t$ и в любом случае это не сводится к какому-либо внутреннему эффекту квантовой механики. Это просто неправильный способ интерпретации принципа неопределенности.

Что такое ΔtΔt\Delta t в принципе неопределенности время-энергия?

Бродяга

Космас Захос

Нанаси Но Гомбе

Ответы (8)

джошфизика

пользователь157588

джошфизика

Собака_69

джошфизика

Собака_69

Собака_69

джошфизика

Собака_69

джошфизика

Эндрю Стин

джошфизика

Тушар Гопалка

Более анонимно

ГЛС

джошфизика

ГЛС

джошфизика

ГЛС

Более анонимно

джошфизика

Более анонимно

двойной феликс

мечтатель

двойной феликс

двойной феликс

Никос М.

Майкл

пользователь4552

pppqqq

JKL

Миша

Чам

флиппифанус

ТМС

М. Цзэн

dmckee --- котенок экс-модератор