Принцип неопределенности Гейзенберга и энергия нулевой точки

В моей книге написано: для частицы в бесконечной квадратной яме (предполагаемой одномерной и большой а )

Δ Икс ∼ а → Принцип неопределенности Гейзенберга → Δ п мин ∼ час 2 π а ( Е "=" п 2 2 м ) → Е мин ∼ час 2 8 π 2 а 2 м .
Впрочем, я не уверен, что последний пассаж законен: как можно считать Δ п мин и п тоже самое? Во-первых, это стандартное отклонение алеаторной переменной. п , а второе - это физическое значение импульса, поэтому я хотел бы понять, есть ли другой способ определить энергию нулевой точки системы только с использованием принципа неопределенности Гейзенберга.

Δp — наименьшее измеримое приращение p. Наименьшее математическое значение p равно нулю, поскольку p равно p=0, поэтому p+Δp = Δp. В обозначениях физики используется дельта, чтобы различать «интервал» и «стандартное отклонение». для стандартного отклонения мы используем dp
@annav Я не думаю, что это правда. Формально Δ п в соотношении Гейзенберга это точно стандартное отклонение. Когда вы получаете неопределенность Гейзенберга, выявляются стандартные отклонения Икс и п , а не их «наименьшие измеримые приращения».
@JahanClaes извините, вы ошибаетесь, если у вас нет расширенного определения стандартного отклонения. Если бы это было стандартное отклонение, это означало бы, что все квантовые явления были случайными в соответствии с пуассоновской или гауссовской. Распределение вероятностей для квантовых явлений представляет собой квадраты решений краевых задач для дифференциальных уравнений КМ, а не гауссовы. Таким образом, в физике мы используем это обозначение, чтобы отделить гауссианы от распределений QM. По сути, наименьшее измеримое приращение дает представление о функции распределения QM.
@annav Прости, но я прав. См., например, Шанкар Глава 9. Он доказывает, что для любого состояния | ψ ⟩ , вы можете определить Δ п "=" ⟨ ψ | п 2 | ψ ⟩ − ⟨ ψ | п | ψ ⟩ 2 и Δ Икс аналогичным образом, и что вы можете затем доказать Δ п Δ Икс ≥ ℏ / 2 . В QM можно определить стандартное отклонение, как я только что показал, и это оказывается полезным. Ничто в использовании стандартного отклонения не подразумевает, что распределение обязательно является гауссовым; каждое распределение вероятностей имеет стандартное отклонение.
@annav Я даже не уверен, как можно строго определить «наименьший измеримый прирост». Но соотношение Гейзенберга — это точная математическая формула, а не эмпирическое правило, поэтому оно нуждается в точных математических определениях. Δ Икс и Δ п . Возможно, есть какое-то другое определение Δ п это также дает соотношение Гейзенберга, но я его не видел. Во всех стандартных процедурах, которые я видел Δ п определяется как стандартное отклонение п .
@annav См. также страницу Википедии , на которой формулируется отношение в терминах стандартных отклонений Икс и п . Кроме того, я сделал опечатку в своем комментарии выше, но я больше не могу редактировать этот комментарий: Δ п "=" ⟨ ψ | п 2 | ψ ⟩ − ⟨ ψ | п | ψ ⟩ 2
@JahanClaes Я экспериментатор, и стандартное отклонение, которое мы дали для измерений, было стандартным отклонением пуассона или гаусса, в вашем определении. Говоря о квантово-механических измерениях, мы использовали символ Δ в отличие от повседневного использования стандартного отклонения в измерениях. Конечно, вы можете определить, как указано выше, что согласуется с тем, что я говорю, за исключением случайных (гауссовских) измерений, у нас будет dp.
@annav Но стандартное отклонение — это общая формула, которая применяется ко всем распределениям вероятностей, а не только к распределениям Гаусса или Пуассона. И когда я говорю Δ п , я именно имею в виду стандартное отклонение набора измерений импульса на идентично подготовленных системах. Это точно так же, как любое другое стандартное отклонение любого другого набора измерений. Если вы измерите п на куче одинаковых систем вы получите некоторый разброс в п . Этот спред имеет стандартное отклонение, Δ п , что и появляется в отношении Гейзенберга.
@annav Здесь нет переопределения стандартного отклонения. Я просто использую обычное, скучное, повседневное определение стандартного отклонения, которое и относится к неопределенности Гейзенберга.

Ответы (2)

Один из способов представить это с точки зрения значений ожиданий. Когда ты говоришь Δ п , что вы действительно имеете в виду, это стандартное отклонение п .

Δ п "=" ⟨ п 2 ⟩ − ⟨ п ⟩ 2
В случае основного состояния вы ожидаете ⟨ п ⟩ "=" 0 по симметрии, так что у вас просто есть Δ п "=" ⟨ п 2 ⟩ . Затем вы можете рассмотреть ожидаемое значение энергии,

⟨ Е ⟩ "=" ⟨ п 2 2 м ⟩ "=" ⟨ п 2 ⟩ 2 м "=" ( Δ п ) 2 2 м

До сих пор все, что мы написали, было точным. Но мы хотим найти минимально возможное значение энергии. Мгновенная мысль должна сказать вам, что минимум ⟨ Е ⟩ и минимум энергии совпадают. Таким образом, вы пытаетесь найти наименьший возможный ⟨ Е ⟩ , и назовите это Е мин . Это означает, что вы хотите найти наименьший возможный Δ п . Но, конечно, ты знаешь Δ Икс ≲ а , поэтому самый маленький Δ п является ~ час 2 π а . Включение этого дает вам Е мин .

Они понимают, что если ⟨ п ⟩ "=" 0 , то ожидаемое значение п 2 точно ( Δ п ) 2 . Конечно, все, что после этого, всего лишь приближения, но иногда они работают очень хорошо!

Хорошо, но я не понимаю, почему я должен ставить Е [ п ] "=" 0
@Landau Есть несколько разных способов оправдать это. Один просто по симметрии. Поскольку квадратная яма симметрична, основное состояние должно иметь ⟨ п ⟩ "=" 0 , так как любое другое значение п нарушил бы симметрию. Ведь если ⟨ п ⟩ положительно в основном состоянии, это означает, что в положительном направлении есть что-то особенное, что неверно: квадратная яма выглядит одинаково в положительном и отрицательном направлениях.
@Landau Другой способ сказать, что вы знаете, что частица в основном состоянии никуда не денется : ожидаемое значение ⟨ Икс ⟩ не меняется, иначе мы не были бы в основном состоянии. Есть формальный способ связать ⟨ п ⟩ и ⟨ Икс ⟩ , и это дает именно то, что вы ожидаете: г ⟨ Икс ⟩ / г т "=" ⟨ п ⟩ / м . Так что если вы хотите убедиться ⟨ Икс ⟩ не меняется, нужно иметь ⟨ п ⟩ "=" 0 .
@Landau На самом деле, это в целом верное утверждение, что любое локализованное собственное состояние имеет ⟨ п ⟩ "=" 0 .

Это не строгий вывод, это оценка, которая дает правильный результат. Основная идея состоит в том, что минимально возможная неопределенность импульса будет того же порядка, что и минимально возможное значение импульса. Это не всегда так, но достаточно часто.

В самом деле, обратите внимание, что книга удобно использовать Δ Икс Δ п ∼ ℏ вместо Δ Икс Δ п ∼ ℏ / 2 чтобы получить правильный результат.

Что касается получения энергии, используя только принцип неопределенности, я не думаю, что это возможно. HUP — это просто неравенство, фактические неопределенности могут быть больше, чем их минимально допустимые значения. Не говоря уже о том, что неопределенность некоторых наблюдаемых не обязательно совпадает с их значением.

Принцип неопределенности Гейзенберга и энергия нулевой точки
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v