Оценка минимальной энергии с использованием принципа неопределенности

В настоящее время я пытаюсь решить проблему, связанную с оценкой минимальной энергии частицы в потенциале:

В ( Икс ) "=" − В 0 а | Икс |

Я совершенно не понимаю, как обращаться с абсолютным значением потенциала. Пока я знаю, что полная энергия частицы будет

Е "=" п 2 2 м − В 0 а | Икс |

Таким образом, ожидаемое значение энергии равно

⟨ Е ⟩ "=" ⟨ п 2 ⟩ 2 м − В 0 а ⟨ | Икс | ⟩

Теперь, могу ли я использовать тот факт, что

1 | Икс | "=" 1 Икс 2
а потом ⟨ | Икс | ⟩ "=" ⟨ Икс 2 ⟩ "=" Δ Икс ? Тогда из принципа неопределенности мы знаем, что Δ п "=" ℏ / 2 Δ Икс и Δ п 2 "=" ⟨ п 2 ⟩ ( ⟨ п ⟩ "=" 0 и ⟨ Икс ⟩ = 0 в состоянии с минимальной энергией)

Включение этого обратно в уравнение энергии дает

⟨ Е ⟩ "=" ℏ 2 8 м Δ Икс 2 − В 0 а Δ Икс

При минимизации этого я получаю

Е м я н "=" − 2 м В 0 2 а 2 ℏ 2

Теперь это не выглядит ужасно неправильно, но я не уверен, что использовал правильный подход с ⟨ | Икс | ⟩ "=" ⟨ Икс 2 ⟩ "=" Δ Икс .

Ответы (1)

Нет, ты не можешь этого сделать. Ты можешь написать | Икс | "=" Икс 2 , а затем вы можете перейти к ⟨ | Икс | ⟩ "=" ⟨ Икс 2 ⟩ , но нельзя говорить ⟨ Икс 2 ⟩ "=" ⟨ Икс 2 ⟩ . Вы можете выбрать почти любую волновую функцию, ψ ( Икс ) "=" π − 1 / 4 е − Икс 2 / 2 например, и показать, что они не равны.

В общем, ⟨ ф ( Икс ) ⟩ ≠ ф ( ⟨ Икс ⟩ ) пока не ф является линейным. Это также означает, что когда вы берете математическое ожидание оператора энергии, вы не можете написать 1 ⟨ | Икс | ⟩ ; вам нужно оставить это как ⟨ 1 | Икс | ⟩ .

Хотя вы совершенно правы, six7th делает (по его словам) оценку, а не реальный расчет. С вашими хорошо выраженными предостережениями я нахожу аргументацию подходящей для этого упражнения.
Да, я думал об этом, но из вопроса не ясно, насколько точна оценка. Кроме того, иногда это имеет огромное значение, например, легко найти состояние ⟨ 1 / | Икс | ⟩ маленький, но 1 / ⟨ | Икс | ⟩ не определено.
Конечно, вы должны быть осторожны с, возможно, плохо определенными количествами. Но что касается точности, вы совершаете ту же ошибку, когда предполагаете, что Δ п Δ Икс "=" ℏ / 2 . Он должен быть больше (в лучшем случае равен). Для того, чтобы знать точное значение, нужно знать волновую функцию, но тогда не нужно ничего оценивать, так как можно просто вычислить.
Оценка минимальной энергии с использованием принципа неопределенности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v