Что такое импульс на самом деле?

Импульс/энергия — это сохраняющиеся заряды Нётер, которые в силу теоремы Нётер соответствуют инвариантности лагранжевого описания системы по отношению к переносу.

Всякий раз, когда лагранжиан физической системы инвариантен при непрерывном преобразовании ( например , смещении пространственного/временного начала, вращении координат), должна существовать сохраняющаяся величина, называемая нётеровским зарядом для этого преобразования.

Затем мы определяем сохраняющиеся заряды для пространственного и временного переноса как импульс и энергию соответственно; угловой момент - это сохраняющийся нётеровский заряд, соответствующий инвариантности лагранжиана по отношению к вращению координат.

Можно вывести более обычные выражения для этих величин из лагранжевой формулировки ньютоновской механики. Когда уравнения Максвелла и электромагнетизм включены в лагранжеву формулировку, мы обнаруживаем, что по-прежнему существуют инвариантности с приведенными выше непрерывными преобразованиями, и поэтому нам необходимо расширить наши определения импульса, включив в них определения электромагнитного поля.

Пользователь ACuriousMind пишет:

Я думаю, было бы хорошо указать, что понятие «канонического импульса» в гамильтоновой механике не обязательно должно совпадать с этим (как в случае, например, с частицей, связанной с электромагнитным полем).

Применительно к электромагнитному полю мы используем теоретико-полевую версию теоремы Нётер, а лагранжиан является пространственно-временным интегралом лагранжевой плотности ; токи Нётер для свободного ЭМ поля являются компонентами тензора энергии-импульса$T$и вытекающие из них законы сохранения$T_\mu{}^\nu{}_{,\,\nu}=0$следуют из приравнивания дивергенции к нулю. Сюда входит теорема Пойнтинга — постулируемое утверждение о сохранении энергии (см. мой ответ на этот вопрос здесь ) и о сохранении электромагнитного импульса (см. статью в Вики). С другой стороны, лагранжиан$T-U$описывающее движение одинокой частицы в электромагнитном поле, есть$L = \tfrac{1}{2}m \left( \vec{v} \cdot \vec{v} \right) - qV + q\vec{A} \cdot \vec{v}$, что дает канонический импульс , сопряженный координате$x$выражение$p_x=\partial L/\partial \dot{x} = m\,v_x+q\,A_x$; аналогично для$y$а также$z$с$\dot{x}=v_x$. Тонкий момент здесь в том, что «потенциал»$U$больше не потенциальная энергия, а обобщенный «потенциал, зависящий от скорости».$q\,V-\vec{v}\cdot\vec{A}$. Эти канонические импульсы, вообще говоря, не сохраняются , они описывают эволюцию движения частицы под действием силы Лоренца и, кроме того, калибровочно зависимы (в том смысле, что они не соответствуют измеримым величинам).

Однако, если включить плотности четырех сил, действующих на не-ЭМ «материю», в плотность электромагнитного лагранжа, уравнения Эйлера-Лагранжа приводят к уравнениям Максвелла при наличии источников и всех импульсов, ЭМ и импульсов материи, суммирующих чтобы дать сохраненные количества.

Также обратите внимание, что термин «канонический импульс» может и часто говорит о любой переменной, сопряженной с обобщенной координатой в абстрактной формулировке Эйлера-Лагранжа описания эволюции любой системы (будь то механическая, электромагнитная или даже нефизическая финансовая система). и соответствует ли «импульс» хоть в малейшей степени механическому понятию импульса и сохраняется ли величина. Это просто название чего-то, что математически выглядит как импульс в классической гамильтоновой и лагранжевой механике, то есть «сопряжено» с обобщенной координатой.$x$в смысле$\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial x}$в гамильтоновой формулировке или$p = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$в лагранжевой постановке. Даже некоторые финансовые аналитики говорят о каноническом моментуме, когда используются формулировки Эйлера-Лагранжа для финансовых систем! Они (насколько мой бедный физик может понять) просто говорят о переменных, сопряженных с обобщенными координатами для модели Блэка Шоуля. Остерегайтесь, они скоро придут в народное хозяйство рядом с вами, если их там еще нет!

Не касаясь электромагнетизма, я хотел бы привести эту конструкцию из механики (она есть в лекциях Фейнмана).

Рассмотрим две равные частицы, приближающиеся друг к другу с одинаковой скоростью.

A---->           <----B

Вы можете утверждать, исходя из первых принципов, что если они слипнутся , то впоследствии они не будут двигаться — любой аргумент, который вы могли бы привести в пользу того, что составная частица движется влево, является также аргументом в пользу того, чтобы заставить ее двигаться вправо; симметрия ситуации не допускает никакого ненулевого движения впоследствии. Достаточно просто.

Теперь рассмотрим неподвижную частицу A, к которой приближается такая же частица Bсо скоростью$2v$.

B------>            A
   2v

Из инвариантности Галилея вы можете переместить систему отсчета так, чтобы она двигалась вправо с постоянной скоростью.$v$. Тогда эта ситуация становится исходной, и составная частица ABнеподвижна относительно новой системы отсчета, которая движется со скоростью$v$. Теперь переведите обратно в исходную систему отсчета, и теперь составная частица движется со скоростью$v$.

Здесь вы можете определить$p=mv$и заметьте, что он сохраняется.

Вы можете распространить эту идею на системы из множества одинаковых частиц и множественных столкновений, создавая ситуации, эквивалентные составным массам в любом соотношении, которое вам нравится.$p=mv$сохраняется индуктивным аргументом.

Как говорится в цитируемой вами вики-статье, импульс определяется как произведение скорости на массу объекта.

Классическая механика теоретически развивалась в соответствии с направлениями, объясненными WetSavanna в другом ответе, при этом сохранение импульса и энергии является краеугольным камнем теории. Классическая механика — очень удачная теория, а закон сохранения импульса — закон.

Затем идет классическая электродинамика с уравнениями Максвелла. Можно показать, что электромагнитная волна переносит энергию. Затем, используя закон сохранения импульса, можно определить импульс, переносимый электромагнитной волной, как показано здесь . Т.е. закон сохранения импульса будет нарушен, если электромагнитная волна кроме энергии не несет импульса. Подробности смотрите по ссылке.

Таким образом, понятие импульса происходит из определения классической механики и распространяется на релятивистскую механику, классическая электродинамика является полностью релятивистской, так что электромагнитная волна также включается в качестве четырехвектора.

Импульс ($p$) "на самом деле"$mv$, даже для световых и электромагнитных полей. Это можно доказать с помощью$E = mc^2$.
Импульс фотона (ЭМ) равен $p = mv$. Где масса определяется$m = E/c^2$а также$v = c$. Подставляя их в уравнение, получаем,$p = E/c$. Хотя это уравнение «выглядит» иначе, чем$p = mv$, поскольку оно было получено с использованием основного определения, оно эквивалентно (и применимо к объектам, которые имеют энергию, но не имеют «массы покоя»).