Действие сопряженного импульса на TMTMTM и явная форма

Единичные формы в кокасательном пространстве соответствуют каноническому импульсу.

Я бы оспорил это утверждение. В основном (общее пространство) кокасательного расслоения$T^\ast M$ есть множество всех 1-форм$M$. Таким образом, импульс не является 1-формой на$T^\ast M$, это точка$M$.

Может быть что-то, что может вас смутить, это тавтологическая 1-форма. есть предпочтительный$\theta\in\Omega^1(T^\ast M)$1-форма на$T^\ast M$, что в некотором смысле соответствует импульсам, однако это не какая-либо 1-форма на$T^\ast M$, а является единственной конкретной 1-формой на$T^\ast M$.

---

Точка$T^\ast M$может быть записано как$(q,p)$что означает, что это точка, состоящая из импульса p в точке$q$. Тавтологическая 1-форма действует на произвольном$X_{(q,p)}\in T_{(q,p)}T^\ast M$касательный вектор (из$T^\ast M$) как

$$\theta_{(q,p)}(X_{(q,p)})=p(\pi^\ast X_{p,q}).$$ Что это значит? Смысл $(q,p)$является 1-формой $p$в $q$, так $p$может действовать на вектор в $q$, но это вектор $M$, нет $T^\ast M$. Так $\theta$сначала проецирует касательный вектор $T^\ast M$к касательному вектору $M$через каноническую проекцию $\pi: T^\ast M\rightarrow M$, а затем имеет $p$воздействовать на это.

Так что же делает импульс$\theta$представлять определяется тем, в какой точке$T^\ast M$вы оцениваете его в.

С основой${dq^i}$кокасательного пространства каждый импульс можно записать как$p=p_idq^i$.

Однако это утверждение верно, но это не 1-форма на кокасательном расслоении, это, так сказать, 1-форма кокасательного расслоения .

Но как коэффициенты$p_i$смотреть?

В гамильтоновой механике, как хотите. Дело в том, что позиции и импульсы являются независимыми переменными. Вы можете указать любую позицию$q$и любой импульс$p$(в таком случае$q$! ), и, поскольку это обеспечивает правильные начальные условия для ваших уравнений движения, затем определяется движение системы.

Возможно, что вас здесь смущает, так это то, что если вы начинаете с лагранжева формализма, существует соответствие (которое уникально, если лагранжиан удовлетворяет условию Гессе) между мультипликациями$(q,\dot{q})$и$(q,p)$, который по существу является изоморфизмом векторных расслоений между$TM$и$T^\ast M$.

Для простоты предположим, что лагранжиан не зависит от времени, что означает, что лагранжиан является функцией$L:TM\rightarrow\mathbb R$.

Теперь зафиксируйте точку$q\in M$. Если считать эту точку неподвижной, то для произвольного$\dot{q}\in T_q M$скорость (при$q$), лагранжиан является функцией$T_q M\rightarrow\mathbb R$в том смысле, что он отображает$\dot q\mapsto L(q,\dot{q})\in\mathbb R$. Эта функция, вообще говоря, не является линейной функцией, однако мы можем линеаризовать ее. Позволять$v\in T_qM$— произвольный вектор, и рассмотрим

$$\mathbb{L}_{(q,\dot q)}(v)=\frac{d}{d\epsilon}L(q,\dot{q}+\epsilon v)|_{\epsilon=0}.$$ Это линейная карта на $v$потому что это производная по направлению, и она зависит от точек $TM$. Так, для фиксированного $(q,\dot q)\in TM$, это линейная карта $T_q M\rightarrow \mathbb R$, следовательно, это ковектор в $T^\ast_q M$, давайте переименуем его как $p(q,\dot q)$.

Короче говоря, в лагранжевой механике канонический импульс,$p(q,\dot q)\in T^\ast_q M$связано с обобщенной скоростью$(q,\dot q)\in TM$действует на произвольную обобщенную скорость$v\in T_q M$как

$$p(q,\dot q)(v)=\frac{d}{d\epsilon}L(q,\dot q+\epsilon v)|_{\epsilon=0}.$$ В местных координатах $$p(q,\dot q)(v)=\frac{d}{d\epsilon}L(q,\dot q+\epsilon v)|_{\epsilon=0}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}v^i,$$ и так $$p(q,\dot q)=\frac{\partial L(q,\dot q)}{\partial \dot q ^i}dq^i|_{q},$$ что, конечно, обычное определение.

1-форма импульса действует на элементы касательного пространства$v\in T_qM$следующее:

$$p(q,\dot q)(v) = p_i(q,\dot q)v^i = \frac{\partial L}{\partial {\dot q}^i}(q,\dot q)v^i$$