Что такое многообразие?

Что такое многообразие?

Многообразие — это понятие из математики, которое априори не имеет ничего общего с физикой.

Идея следующая: Вы, наверное, изучали в школе евклидову геометрию, поэтому умеете рисовать треугольники и т. д. на плоском листе бумаги. В отличие от общеупотребительного языка, давайте возьмем «пространство» для обозначения чего-либо с количеством точек. Евклидова плоскость ($\mathbb{R}^2$) или ваш лист бумаги — это «пространство», 3d-пространство вокруг вас — это «пространство», или поверхность мира — это «пространство» (оговорка: на самом деле я хочу определить топологическое пространство, которое не "все с количеством баллов", но не будем тут отвлекаться).

Теперь, если вы посмотрите на поверхность сферы, это определенно не евклидово пространство: в евклидовой геометрии сумма всех углов в треугольнике равна 180°, что неверно для поверхности шара, сферы. Однако, если вы посмотрите только на небольшой участок сферы, это приблизительно соответствует действительности. Например, вы воспринимаете землю как плоскую, хотя это не так, если вы смотрите сверху.

Многообразие — это каждое «пространство» с этим свойством: локально оно выглядит как евклидова плоскость. Окружность – это многообразие (локально выглядит как линия, являющаяся одномерным евклидовым пространством$\mathbb{R}$), сфера (локально выглядит как плоскость), ваша комната (похожа на 3d-евклидово пространство$\mathbb{R}^3$локально - забудьте о границах здесь) и т.д.

Отличительной чертой многообразий является то, что это свойство локального сходства с евклидовым пространством позволяет полностью описывать их, используя только евклидовы пространства. Поскольку мы очень хорошо знаем евклидово пространство, это хорошо. Например, вы можете взять карту Англии — поскольку слово «карта» в математике используется по-разному, назовем ее «диаграммой». Это очень хороший способ описать Англию, хотя на самом деле это часть круглого объекта. Вы можете соединить множество этих карт вместе, чтобы получить целый атлас, покрывающий землю, который дает вам хорошее описание земли, используя только 2d листы бумаги. Очевидно, вам понадобится более одной карты, чтобы охватить всю землю, не дублируя определенные точки, и, очевидно, если карта покрывает очень большую площадь, в некоторых местах она будет выглядеть очень искаженной.

И это многообразие. Это некоторое пространство, где вы можете создать атлас карт, каждая из которых является (частью) евклидова пространства, описывающего часть пространства. Хорошо, не совсем: то, что вы хотите от многообразия, это то, что вы можете переходить от диаграммы к диаграмме с помощью хорошей операции. Например, в вашем атласе Земли некоторые карты будут перекрываться, и точки перекрытия, расположенные близко друг к другу на одной карте, будут расположены близко друг к другу на другой карте. Другими словами, у вас есть карта между перекрывающимися областями любых двух карт, и эта карта непрерывна (в этот момент вы получаете топологическое многообразие) или даже дифференцируема (в этот момент вы получаете дифференцируемое многообразие).

К настоящему времени вам должно быть очевидно, что можно сказать, что пространство вокруг нас является дифференцируемым многообразием. Кажется совершенно точным описать это, используя$\mathbb{R}^3$локально, как вы, вероятно, делали в школе. И это также то, как многообразия входят в теорию относительности: если вы добавите измерение времени, окажется хорошим предположением, что вы все еще можете моделировать пространство + время как четырехмерное многообразие (это означает, что каждая диаграмма выглядит как$\mathbb{R}^4$локально).

Зачем моделировать пространство-время многообразиями?

Теперь вы знаете, что такое многообразие, но даже если вы представляете себе, как можно моделировать пространство-время как многообразие, это на самом деле не говорит вам, почему вы должны моделировать пространство-время как многообразие. В конце концов, только потому, что вы можете что-то сделать, это не всегда делает это особенно полезным.

Рассмотрим следующую задачу: Даны две точки, каково их кратчайшее расстояние?

[Кроме того: прежде чем ответить на этот вопрос, я хочу упомянуть, что, хотя я говорил о таких вещах, как расстояния и углы, вам не обязательно иметь эти понятия на произвольном многообразии, потому что может быть невозможно определить что-то подобное для вашего основного " пространство», но если у вас есть «дифференцируемое многообразие» (это означает, что функции, которые переносят вас от диаграммы к диаграмме в перекрывающихся областях, дифференцируемы), то вы это делаете. В этот момент становится возможным говорить о расстояниях. В физике, особенно в общей теории относительности, всегда есть понятие расстояний и углов.]

Вернемся к задаче о кратчайшем расстоянии: В$\mathbb{R}^n$, ответ довольно прост. Наименьший путь между двумя прямыми — это прямая между ними. А на сфере? Чтобы определить это, вам сначала нужно расстояние на сфере. Но как это сделать? В тот момент я уже знал, что такое кратчайшее расстояние!

Вот одна идея: если вы рассматриваете рейс из Лондона в Буэнос-Айрес (например), каков «кратчайший путь»? Ну, земля более или менее сфера в некоторых$\mathbb{R}^3$. Это евклидово пространство, поэтому вы знаете, как вычислять расстояния в нем, поэтому кратчайший путь — это наименьшее расстояние из всех возможных путей. Легкий. Однако есть проблема: это работает только потому, что у нас есть окружающее трехмерное пространство. Но это не обязательно так — действительно, наше собственное «пространство», похоже, не встроено в какое-то четырехмерное гиперпространство (или как бы вы его ни называли).

Вот еще одна идея: ваше многообразие локально выглядит как евклидово пространство, где ответ прост. Что, если вы определите свое расстояние только локально, а затем каким-то образом соедините его вместе, чтобы оно имело смысл?

Прекрасно то, что дифференцируемое многообразие дает вам инструменты для этого. Таким образом, вы можете создать меру расстояния (называемую римановой метрикой), которая позволяет вычислять кратчайшие пути между точками даже без окружающего пространства. Но это не останавливаться на достигнутом. Что такое параллельные прямые? Что происходит с локальной системой координат? Например, если вы летите на своем самолете, кажется, что вы все время смотрите вперед, но ваше поле зрения не идет по прямой линии, как меняется ваше поле зрения по пути? Когда у вас есть метрика, все становится просто.

Должно быть ясно, что все эти вопросы — это вопросы, которые вы можете задавать об окружающем вас пространстве (времени) — и вам нужен ответ на них! Также кажется естественным, что вы действительно должны быть в состоянии ответить на эти вопросы для нашей вселенной.

Итак, какова метрика нашего пространства? Можем ли мы просто исправить это локально? Что ж, мы могли бы, но это не будет уникальным, так как же решить, какая метрика является правильной? Это именно то, о чем говорит общая теория относительности: основные уравнения общей теории относительности говорят нам, как мера расстояния в пространстве-времени связана с материей и энергией.

Еще немного о топологии (если вам интересно)

Наконец, если вы хотите узнать больше о «космическом» аспекте, который я упустил выше, давайте рассмотрим его поближе. Вам нужен не какой-либо набор точек, а набор точек, который имеет окрестности для каждой точки. Вы можете думать о окрестности точки как о ряде точек, которые так или иначе «близки» к точке. Как и в реальной жизни, ваш район может быть очень большим, он может охватывать все пространство, он даже не должен быть связан, но он должен каким-то образом всегда включать в себя точки, находящиеся непосредственно «рядом» с вами. На самом деле, если у вас есть мера расстояния, такая как обычное евклидово расстояние в$\mathbb{R}^n$, то множество окрестностей задается всеми шарами всех размеров вокруг любой точки. Однако вы можете определить эти окрестности и без меры расстояния, но вы все равно можете как-то думать о «близости».

Этих пространств достаточно, чтобы вы могли определить «непрерывные функции», где функция непрерывна в точке, если все точки «рядом» с этой точкой (то есть в некоторой окрестности) остаются «рядом» с точкой после отображения (то есть они снова отображается в какую-то окрестность). Обычно и особенно для всех многообразий, о которых мы действительно хотим говорить в теории относительности, вы добавляете еще несколько условий к пространствам, чтобы иметь более приятные свойства, но если вы хотите узнать об этом, я предлагаю начать изучение истинных математических определений. Есть много других ответов, которые охватывают основы!

Чтобы ввести понятие гладкого многообразия, я сначала введу топологические многообразия .

Топологическое многообразие

Мы говорим, что$M$, топологическое пространство, также является топологическим многообразием , если

• Для любых двух точек, которые я выбираю, скажем,$p,q \in M$, существуют непересекающиеся открытые подмножества$U$а также$V$пространства$M$такой, что$p \in U$а также$q\in V$. Другими словами, они могут быть разделены районами.
• Существует счетный базис топологии$M$, что означает, что мы можем построить любое открытое множество в$M$из объединения множества других открытых множеств, называемых базисом$B$, и что этот базис счетен.
• Главное, каждый пункт$p \in M$имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству$\mathbb{R}^n$. Другими словами, существует непрерывная функция с непрерывным обратным из этой окрестности к открытому множеству в$\mathbb R^n$и это то, что мы подразумеваем под локально евклидовым.

Подчеркнем еще раз, мы можем выбрать любой$p\in M$и открытый набор$U \subset M$содержащий$p$, и мы гарантированно можем построить гомеоморфизм$\psi : U \to \tilde U$куда$\tilde U \subset \mathbb R^n$. Кроме того, это определение локально евклидовости полностью эквивалентно возможности построения гомеоморфизма к открытому шару в$\mathbb R^n$или же$\mathbb R^n$сам. Первые два требования довольно формальны, а для дальнейшего важно понять третье.

Графики

Чтобы перейти к построению понятия гладкого многообразия, введем координатные карты . В частности, координатная карта представляет собой пару$(U, \varphi)$куда$U \subset M$является открытым множеством и$\varphi(U) \subset \mathbb R^n$является гомеоморфизмом, о котором мы говорили, к$\mathbb R^n$.

Карта$\varphi$представляет собой карту локальных координат, компонентами которой являются координаты и$U$является координатной окрестностью.

Гладкая структура

Чтобы иметь возможность производить вычисления на таком многообразии, мы должны добавить к нему гладкую структуру. Если$(U,\varphi)$а также$(V, \psi)$есть две карты такие, что$U \cap V \neq \varnothing$, то карта

называется отображением перехода , является гомеоморфизмом. Две карты гладко совместимы , если эта карта перехода является диффеоморфизмом, то есть все компоненты имеют частные производные во всех порядках, биективны, а обратная непрерывна.

Мы можем определить атлас $\mathcal A$как совокупность карт, покрывающих все многообразие, так что любая точка должна принадлежать домену одной из этих карт. Обратите внимание, что это означает, что мы не требуем, чтобы одна система координат покрывала все многообразие.

Вы можете догадаться, сейчас мы позвоним$\mathcal A$гладкий атлас , если все карты гладко совместимы, как определено выше.

Прежде чем мы перейдем к изюминке, мы могли бы$M$имеет много гладких атласов, поэтому в следующем определении мы выбираем максимальный или полный в том смысле, что каждая гладко совместимая карта содержится в$\mathcal A$.

Таким образом , гладким многообразием является пара$(M, \mathcal A)$, и мы можем определить функцию$f : M \to \mathbb R^n$быть гладким, если$f \circ \varphi^{-1}$является гладким для каждого графика.

Как мы моделируем пространство-время с помощью многообразий?

В общей теории относительности мы рассматриваем пространство-время как риманово многообразие , что накладывает дополнительные ограничения на понятие гладкого многообразия.

Каждое риманово многообразие снабжено метрическим тензором$g_p(X,Y)$который принимает два касательных вектора$X,Y \in T_p M$которые лежат в касательном пространстве в точке$p$, и это дает нам понятие длины вектора и угла между векторами в обобщенном виде.

Уравнения поля Эйнштейна, которые связывают материю с кривизной пространства-времени, смоделированного как многообразие, явно зависят от этой метрики.$g$.

Многообразие — это математическое понятие .

В математике многообразие — это топологическое пространство, которое локально напоминает евклидово пространство вблизи каждой точки. Точнее, каждая точка$n$-мерное многообразие имеет окрестность, гомеоморфную евклидову пространству размерности$n$.

Его использование позволяет делать обобщения из классических евклидовых пространств, а поскольку общая теория относительности своим построением искажает пространство и время, слово «многообразие» является подходящим словом для описания «координат» как искаженных из евклидовых пространств.

Исторически многообразия выросли из следующей идеи.

Мы часто изучаем различные поверхности, такие как сфера или цилиндр, помещая их в трехмерное евклидово пространство, и оттуда изучаем геометрию. Однако есть странности:

• Кривые на самом деле не имеют никакой «внутренней» формы, но есть всевозможные кривизны, возникающие из-за того, как мы рисуем кривую в евклидовом пространстве!
• Обычный цилиндр представляет собой плоскую поверхность, несмотря на то, что можно наивно посмотреть на него и подумать, что его круглая форма означает, что он изогнут.
• Из сферической и гиперболической геометрии мы знаем, что формы могут иметь некоторую нетривиальную внутреннюю геометрию.

Таким образом, здесь возникает нетривиальная проблема различения того, какие части геометрии на самом деле являются внутренними для изучаемой нами формы, а какие являются внешними — случайности того, как мы помещаем форму в евклидово пространство.

Идея многообразия была изобретена для решения этой проблемы — она дает полезный способ работы с интересными формами чисто внутренним способом, который гарантирует, что вся геометрия, которую мы изучаем таким образом, действительно является неотъемлемой частью многообразия.

Основная идея состоит в том, чтобы покрыть фигуру картами координат и описать геометрию, используя исчисление на картах координат. Подумайте об использовании карт для представления поверхности Земли.

Теперь, что касается физики, многообразие вступает в игру совершенно противоположным образом. У нас есть многовековой опыт работы с физикой на том, что в основном представляет собой координатные карты, и мы знаем, что примерно так Вселенная выглядит в достаточно малых масштабах, но крупномасштабная топология Вселенной вполне может быть более сложной.

Введите многообразия, заранее созданную математическую теорию о том, как объединить карты координат, чтобы описать более интересное топологическое пространство.

Даже если кого-то не интересуют более интересные многообразия, они все равно вступают в игру благодаря современной математике — дифференциальная геометрия — это язык для выполнения сложных вычислений в многомерном исчислении, особенно когда речь идет о геометрических идеях, а теория и практика дифференциальной геометрии обычно развиваются на коллекторах.

Общее определение$n$-многообразие : топологическое пространство, напоминающее евклидово пространство в окрестности каждой точки (а многообразием является любое$n$-многообразие). Это означает, что если вы возьмете произвольную точку многообразия, то вокруг этой точки всегда найдется достаточно малый шар, внутри которого пространство можно непрерывно деформировать в плоское пространство. Простой пример — круг. Это$1$-многообразие, потому что если взять любое его связное подпространство, то его можно выпрямить в прямую (евклидово$1$-пробел), хотя вы не можете сделать это со всем кругом. То же самое можно сказать о любой простой гладкой кривой («простая» означает несамопересекающуюся, а «гладкая» означает дифференцируемую). Точно так же сфера, тор и другие гладкие поверхности$2$-многообразия.

Более тонким моментом является различие между многообразием и его вложением. Мощная теорема Нэша показывает, что для каждого$n$-многообразие$M$, существует некоторое$m\geq n$такой, что$M$встраивается в$\mathbb{R}^m$. В абстрактном смысле можно параметризовать кривую так, чтобы она удовлетворяла определению многообразия, даже если все ее вложения в$\mathbb{R}^2$самопересекающиеся (возможно, без пересечения вкладывается в$\mathbb{R}^3$). Но фиксированное вложение самопересекающейся кривой технически не является многообразием, потому что оно имеет точку, похожую на$+$(нет$\mathbb{R}$). Точно так же бутылка Клейна может быть встроена в$\mathbb{R}^4$как$2$-многообразие, хотя его вложения в$\mathbb{R}^3$являются самопересекающимися.

Пространство-время$4$-размерный. Обычное применение концепции многообразия подходит сюда, если мы думаем о пространственной части пространства-времени, непрерывно деформирующейся во времени. В этой модели в любой фиксированный момент времени Вселенная может рассматриваться как$3$-многообразие, но оно должно удовлетворять дополнительным ограничениям. Во-первых, мы предполагаем, что Вселенная гомеоморфна и изотропна . Для другого такой$3$-многообразие должно иметь смысл как поперечное сечение$4$-мерная структура.

The $3$-мерные гомеоморфные и изотропные многообразия были очень активным предметом математических исследований благодаря фундаментальной работе Билла Терстона, начавшейся в 1970-х годах. Среди этих многообразий есть одно плоское (евклидово$3$-пространство), с положительной кривизной (т.$3$-сфера), а гиперболических структур бесконечно много. Некоторые математики считают, что пространственная часть пространства-времени может быть смоделирована с помощью гиперболического многообразия, хотя в физике это не так широко распространено (поясняется ниже). В начале 80-х Джефф Уикс открыл замкнутую гиперболу.$3$-многообразие минимального объема, и некоторые надеялись, что это модель Вселенной, однако оно не удовлетворяло требованиям пространственного сечения пространства-времени. Совсем недавно, основываясь на данных о микроволновом фоновом излучении, Уикс предположил, что правильной моделью является додекаэдрическое пространство Пуанкаре (подобное$12$односторонний кубик, где каждый раз, когда вы выходите через одну грань, вы возвращаетесь через другую с некоторым вращением), что также гиперболично.

Многие физики считают, что Вселенная плоская, основываясь на наших измерениях кривизны наблюдаемой ее части. Однако (и это утверждение предвзято, исходя из моей точки зрения как математика, специализирующегося на топологии), если наблюдаемая Вселенная является относительно крошечной частью общей Вселенной, то определение многообразия говорит нам, что мы должны ожидать, что оно будет выглядеть плоским. независимо от его фактической топологической структуры. Остается интересной тема, какова топология (пространственной части) общей вселенной в пространстве-времени как многообразия.

В качестве альтернативы можно было бы рассматривать вселенную со временем как$4$-многообразие, хотя они не так хорошо изучены. В физике также существуют многомерные теории Вселенной. В математике ограничений нет.$n\in\mathbb{N}$в определении$n$-многообразие. Существуют также хорошо развитые теории бесконечномерных многообразий (например , банаховых многообразий ), а также$n\in\mathbb{Q}^+$, то есть дробно-мерные многообразия (фракталы), но эти понятия менее связаны с моделью пространства-времени.

Были очень хорошие ответы, и они очень хорошо и концептуально, а также точно описывали, что такое многообразие, как его можно использовать для описания изначально искривленного пространства и как идея непрерывности и дифференцируемости возникает, объединяя все вместе. местные графики.

Я хотел бы изобразить путь, по которому физики пришли к 4-мерному пространству-времени. Включение времени было критически важным и было отправной точкой от специальной теории относительности. Или, говоря по-другому, почему физически имело смысл использовать геометрическую конструкцию, и в частности риманову геометрию, для моделирования/описания динамического пространства и времени, пространства-времени, способом, совместимым со специальной теорией относительности и с гравитацией. Я могу быть не совсем точен в истории, но она ближе к физическому мышлению. И это объясняет более физически, чем то, как многообразия или риманова геометрия являются подходящей конструкцией для описания пространства-времени и его динамики. Дело было не просто в том, что это была риманова сущность, а в том, что это была живая динамическая сущность.

Исторически это возникло в физике немного иначе, чем в математике, хотя в основном означало одно и то же, а затем математика превратилась для римановой геометрии в ключевой инструмент для получения уравнений и осмысления концепций. В физике идея пространства-времени впервые возникла у Эйнштейна, и это было плоское пространство-время (хотя само название «пространство-время» появилось позже) с лоренцевской (и плоской) метрикой, которая подходила для использования в специальной теории относительности. Изначально не предполагалось, что пространство-время, а точнее, совокупность координат x, y, z и t каким-либо образом определяют динамическую или изменяющуюся сущность. Просто считалось, что их может подобрать любой инерциальный наблюдатель, и у нас были преобразования Лоренца.

Эйнштейн (с возможным вкладом других, есть некоторые дискуссии о том, насколько) через историю, описанную в различных книгах, пришел к принципу эквивалентности, согласно которому гравитационная сила, по-видимому, имеет тот же эффект, что и простое пребывание в постоянно ускоряемой системе отсчета. , и затем Эйнштейн пришел к тому, чтобы взглянуть на (псевдо)риманову геометрию как на способ описания движения в терминах геодезических и на то, что стало известно как пространство-время, как на четырехмерную псевдориманову сущность с физикой, не зависящей от выбранной системы координат. , т. е. наблюдателя. И, увидев, что в пределе слабого поля и малых скоростей оно сводится к ньютоновской гравитации и некоторым другим вещам, он получил уравнения поля. Он действительно использовал полную конструкцию римановой геометрии, которая в то время была малоизвестна, но существовала. Он дошел до этого, потому что ему нужно было описать что-то независимо от систем координат, будь то инерциальная, ускоряющая или какая-либо другая. Я не знаю, существовало ли тогда для этого слово «многообразие». Но дифференцируемость была частью риманова «пространства».

То, что геометрия способна описывать гравитацию, — довольно глубокое открытие Эйнштейна и некоторых его коллег. Это было связано с принципом эквивалентности, который по существу исходит из эквивалентности инерционной (движение, изменение пространства-времени) и гравитационной массы (силы). Эта эквивалентность не верна ни для одной из других сил, и до сих пор было невозможно объединить гравитационную теорию Эйнштейна с какой-либо другой силой.

Это мои нефизики берут. Многообразие — это искривленное пространство, локально плоское. Подумайте о поверхности Земли, которая представляет собой двумерное многообразие (можно описать с помощью двух координат — широты и долготы). Небольшие участки поверхности Земли можно описать с помощью евклидовой геометрии; большие площади не могут, так как эта геометрия ломается.

В контексте теории относительности многообразие (а) имеет четыре измерения (три пространственных и одно временное) и называется пространством-временем; б) дифференцируема; и (c) описывается функцией, называемой метрикой, которая дает разницу во времени и расстояние между бесконечно близкими точками. Различные системы координат имеют разные метрики, описывающие одно и то же расстояние между бесконечно малыми близкими точками. Используя метрику, вы можете построить четырехиндексный тензор, называемый тензором кривизны Римана. Тогда и только тогда, когда этот тензор равен нулю, пространство в этой точке плоское, в противном случае оно искривлено.

Специальная теория относительности имеет дело с плоским пространством-временем (называемым пространством-временем Минковского), т.е. имеет дело с ситуациями, когда эффекты гравитации пренебрежимо малы. Масса-энергия искривляет пространство-время. Свободные тела или световые лучи будут следовать по кратчайшему пути (он же геодезический) между двумя точками в пространстве-времени. Чтобы рассчитать этот путь, вам нужно знать метрику. Двумя наиболее распространенными метриками являются метрика Минковского (описывающая плоское пространство-время) и метрика Шварцшильда (описывающая пространство-время вокруг сферически симметричного объекта, такого как наше Солнце).

Уже есть несколько хороших ответов. Поэтому я постараюсь написать краткий ответ, который просто отвечает на вопрос без каких-либо подробных обсуждений.

После изобретения специальной теории относительности Эйнштейн попытался изобрести лоренц-инвариантную теорию гравитации, но безуспешно. В конечном итоге проблема была решена заменой пространства-времени Минковского искривленным пространством-временем, т. е. геометризацией гравитации. В искривленном пространстве-времени кривизна создается (и реагирует обратно) энергией и импульсом.

Многообразие — одно из фундаментальных понятий математики, в частности геометрии. Все мы знаем о n-мерном евклидовом пространстве.$\mathbb{R}^n$и множество n-кортежей$(x^1,x^2,...,x^n)$. Понятие многообразия отражает идею пространства, которое может быть искривленным и иметь сложную топологию, но которое напоминает топологию пространства.$\mathbb{R}^n$в местных регионах. Все многообразие строится путем плавного сшивания этих локальных областей.

Таким образом, структура многообразия обеспечивает естественную среду, на которой может быть построена теория гравитации на основе принципа эквивалентности Эйнштейна: искривленное пространство-время локально напоминает плоское пространство-время, где действуют законы специальной теории относительности.

Многообразие определяется в несколько этапов:

1. Это топологическое пространство, хаусдорфово и счетное во вторую очередь. Это звучит технически, и это так. Но это означает, что пространство непрерывно, что, когда мы фокусируемся на точке, мы видим именно одну точку, а не несколько точек, расположенных близко друг к другу (или даже далеко друг от друга), и что мы исключаем некоторые очень большие пространства, например длинная линия, которая намного, намного длиннее нашей вселенной и любой мыслимой вселенной.

2. Это топологически говоря, локально евклидово. Это означает, что когда мы фокусируемся на небольших областях, они выглядят как аффинное пространство.

Это определение топологического многообразия. Стоит отметить, что мы можем складывать многообразия вместе - это непересекающаяся сумма. Так, например, сложив две сферы вместе, мы получим ровно пространство, состоящее из двух сфер. Мы также можем умножать многообразия: лайм, умноженный на круг, дает цилиндр, а круг, умноженный на другой круг, дает тор. Следовательно, мы имеем некоторую арифметику многообразий.

Обычно в физике, особенно после открытия Ньютоном исчисления, мы требуем гладкости.

Прежде всего отметим, что многообразия имеют атлас карт, это следует из второго условия. И, следовательно, у нас есть изменения в графике, когда графики перекрываются. Это так называемые переходные карты. Они по определению непрерывны, поскольку мы определили все в топологических терминах.

3. Гладкое многообразие — это топологическое многообразие, в котором все отображения переходов гладкие.

Подобным образом или с помощью дополнительной структуры мы можем определить многие другие многообразия, такие как комплексные многообразия, паракомплексные многообразия, римановы многообразия и т. д. Их целый бестиарий...

Пространство-время моделируется как риманово многообразие. Это просто означает, что локально у нас есть метрика, и поэтому локально мы можем измерять углы и расстояния. Именно Минковский первым предположил, что пространство-время лучше всего рассматривать таким образом, после того как Эйнштейн придумал специальную теорию относительности. Хотя Эйнштейн сначала не воспринял это, он положился на это при разработке общей теории относительности.

Часто эта геометрия скрыта в обычном языке физиков. Например, контравариантный вектор в точке определяется его свойствами преобразования. На геометрическом языке это в точности касательный вектор в данной точке пространства-времени. Это инвариантное понятие.

В нашем собственном плоском пространстве замыкается параллелограмм. В искривленном пространстве это уже не обязательно, и есть дефект, который измеряется кривизной. Мы можем перевернуть это и измерить кривизну по тому, как параллелограммы не смыкаются (или смыкаются).

На самом деле Риман предположил, что метрика пространства и времени может меняться в малых масштабах. Изображение, созданное с помощью пространственно-временной пены Уилера. Именно Клиффорд, прочитав тезис Римана, предположил, что все силы, которыми в его время были бы гравитация и электромагнетизм, сводимы к изменениям в метрике и, следовательно, связаны с кривизной. Его смелая гипотеза оказалась полностью верной, так как убедительно подтвердил Эйнштейн в случае ОТО и менее убедительно целый ряд теоретиков электромагнетизма, слабого и сильного взаимодействий.