Есть ли ограничения на построение топологии пространства-времени из дополнения открытых шаров?

Я предполагаю, что для лоренцева многообразия (т.е. с сигнатурой Минковского) аналогом открытого шара является внутренность светового конуса. Мой вопрос мотивирован тем наблюдением, что, хотя любую точку на границе открытого шара на римановом многообразии (т. е. с евклидовой сигнатурой) можно считать одновременно внутренней по отношению к бесконечному числу других открытых шаров (и внешней по отношению к бесконечному числу других) граница светового конуса связана с метрическим интервалом, отличным от времениподобных и пространственноподобных интервалов. По этой причине мне интересно, вводит ли это дополнительные тонкости/ограничения при построении топологии пространства-времени. С этим вопросом связано то, при каких обстоятельствах (если таковые имеются) отдельные точки могут быть связаны с определенными видами интервалов (например, пространственноподобными, времениподобными, нулевыми).

Тонкости определения топологии сигнатурных многообразий Минковского отличаются от тонкостей евклидовых сигнатурных многообразий — в некотором смысле они более тонкие. Замена шаров световыми конусами точно не поможет. Безусловно, нужно изучить такие вещи, как причинно-следственные диаграммы Пенроуза, геодезическую полноту, удивительные координатные сингулярности, которые тем не менее приемлемы в других системах координат, и так далее. Это целая тема, и это не то же самое, что сказать три предложения, чтобы полностью ее исчерпать.
Топология неметрическая. Световые конусы метрические. Многообразие имеет топологию, даже если оно вообще не снабжено метрикой. Поскольку топология более проста, чем метрика, нет смысла переделывать топологию на основе метрики.

Ответы (1)

Как говорит Любош, нет смысла пытаться определить топологию (я предполагаю, что вы здесь пытаетесь построить топологию в ее самом строгом смысле из базы — набора открытых шаров) через световые конусы. Причина в том, что для разумной топологии у вас должны быть произвольно малые (в некотором интуитивном смысле) открытые множества, так что утверждения типа «существует такое открытое множество, что...» действительно означают то, что мы хотим (т. е. «существует малое достаточно открытого шара такого, что"). Световые конусы ни в коем случае не маленькие, и ваша топология не увидит преемственности, к которой мы привыкли.

Ну, можно сказать, забудьте об интуиции, посмотрим, куда нас приведут эти раскрытые конусы.

  • Мы не можем сказать, что внутренность полных световых конусов, определяемых как все точки пространства-времени в подобном времени отделении от данной точки, образуют основу топологии. Причина в том, что пересечение двух открытых световых конусов не может быть представлено как объединение бесконечного количества открытых световых конусов.
  • Мы можем, однако, потребовать не просто времениподобного разделения, но времениподобного разделения большего, чем нечто. Или разрешить только положительные полусветовые конусы. Это будет работать как основа топологии (по крайней мере, второй вариант), но в результирующей топологии любое открытое множество будет содержать вместе с точкой весь положительный световой конус, исходящий из этой точки. Эта топология не та, к которой вы привыкли. Это не хаусдорф, он «склеивает» случайно связанные пары точек.
  • Другой вариант — утверждать, что световые конусы формируют основу топологии. Тогда пересечение двух световых конусов друг над другом даст вам что-то очень похожее на единичный шар. Я предполагаю, что в этом случае вы получите топологию основного многообразия. Эм, да, у вас должно быть базовое многообразие, чтобы определить лоренцеву метрику и сами световые конусы.

Теперь я думаю, что в этом контексте следует задать другой вопрос: в то время как паракомпактное многообразие всегда допускает положительно определенную риманову метрику, для псевдоримановых метрик такой теоремы не существует. Причина в том, что вам нужно разумно склеивать времениподобные кривые из разных координатных карт. Каковы условия, при которых многообразие допускает псевдориманову метрику? Я нашел здесь полезную информацию , но у меня нет полного ответа.

Этот последний абзац сам по себе может стать хорошим вопросом, будь то здесь или на math.SE.
Есть ли ограничения на построение топологии пространства-времени из дополнения открытых шаров?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 10v